IGNOU MTE 9 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

Are the following statements true or false? Give reasons for tour answers.

a) -2 is a limit point of the interval 1-3,2].

b) The series  is divergent.

The function, f(x)=sin² x is uniformly continuous in the interval [0, π).

d) Every continuous function is differentiable.

e) The function f defined on R by 

is irrational Is integrable in the interval [2,3].

Ques 2.

Prove that the union of two closed sets is a closed set. Give an example to show that union of an infinite number of closed sets need not be a closed set.

Ques 3.

Examine the function f : R→R defined by

for continuity on R. If it is not continuous at any point of R, find the nature of discontinuity there. (x+1)x+0 9-59-1

Find lim 

Ques 4.

Using the principle of mathematical induction, prove that   is natural numbuer.

Ques 5.

Show that there is no real number, & for which the equation,  has two distinct roots in the interval [2,3].

Ques 6.

Let :[-3,3]→ R be defined by where [x] denotes the greatest integer ≤x. Show that this function is integrable.

Ques 7.

Prove that the function  defined by

l is discontinuous, , using the sequential definition of continuity.

Ques 8.

Examine the convergence of the following series

(i)

(ii) 

Ques 9.

Prove that the set of integers is countable.

Ques 10.

Prove that

Ques 11.

Prove that the sequence  is convergent where (_n) is a bounded sequence.

Ques 12.

Prove that continuous function of a continuous function is continuous.

Ques 13.

Examine the function, for extreme values

Ques 14.

Show that the series   is uniformly convergent in  for any a>0.

Ques 15.

Give an example of an infinite set with finite number of limit points, with proper justification.

Ques 16.

Show that

(i) 

(ii)

Ques 17.

For the function, defined over [1,5], verify:  where P is the partition which divides [1.5] into four equal intervals. 

Ques 18.

Let (a) be a sequence defined as show that (a_n) converges 

Ques 19.

Using the sequential definition of the continuity, prove that the function defined

by: is discontinuous at each real number.

Ques 20.

Show that on the curve, the chord joining the points whose abscissa are x=1 and x=2. is parallel to the tangent at the whose abscissa is

Ques 21.

Give an example of a series ∑ such that  ∑ is not convergent but the sequence converges to 0.

Ques 22.

Test the series:

 for absolute and conditional convergenc

Ques 23.

Check whether the function  given by:

has local maxima and local minima.

Ques 24.

Check, whether the collection given by:  open cover of 

Ques 25.

State Bonnet's mean value theorem for integrals. Apply it to show that:

Ques 26.

Show that the sequence (a), where   is monotonic. Is  Cauchy sequence  Justify your answer.

Ques 27.

Check whether the intervals [2.5] and [7,10] are equivalent or not.

Ques 28.

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

क) - 2 अंतराल  ]-3,2]  का सीमा बिन्दु है।

ख) श्रेणी   अपसारी है।

ग) फलन f (x) = sin²x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।

घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

ड.)  द्वारा पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।

Ques 29.

सिद्ध कीजिए कि दो संवृत समुच्चयों का सम्मिलन संवृत समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि संवृत समुच्चयों की परिमित संख्या का सम्मिलन संवृत समुच्चय नहीं भी हो सकता है।

Ques 30.

R पर सातत्य के लिए

द्वारा परिभाषित फलन f: IR IR की जाँच कीजिए। यदि R के किसी बिन्दु पर सतत नहीं है तब असातत्य का प्रकार ज्ञात कीजिए

Ques 31.

   ज्ञात कीजिए।

Ques 32.

गणितीय आगम नियम द्वारा सिद्ध कीजिए कि    एक प्राकृत संख्या है,  

Ques 33.

दिखाइए कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए समीकरण x⁴-3x²+k=0 के अंतराल [2,3] में दो अलग-अलग मूल होते हैं।

Ques 34.

मान लीजिए    द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।

Ques 35.

सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f असतत है,  I

Ques 36.

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:

i) 

ii)  

Ques 37.

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।

Ques 38.

सिद्ध कीजिए कि

Ques 39.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम   अभिसारी। है जहाँ {a_n} परिबद्ध अनुक्रम है।

Ques 40.

सिद्ध कीजिए कि संतत फलन का संतत फलन संतत होता है।

Ques 41.

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x+1)³ (x-3)² की जाँच कीजिए।

Ques 42.

दिखाइए कि किसी भी a > 0 श्रेणी में एकसमानतः अभिसारी है।

Ques 43.

उचित पुष्टि के साथ सीमा बिन्दुओं की परिमित संख्या वाले एक अपरिमित समुच्चय का उदाहरण दीजिए।

Ques 44.

दिखाइए कि

i)   

ii)   

Ques 45.

[1,5] पर परिभाषित फलन f(x) = x²-2 के लिए सत्यापित कीजिए L(P, f) ≤U(-P, f) जहाँ P एक विभाजन है जो [1,5] को चार बराबर अंतरालों में विभाजित करता है।

Ques 46.

मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {a_n} है। दिखाइए कि {a_n} शून्य तक अभिसरण करता है।

Ques 47.

फलन के सांतत्य की अनुक्रमिक परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असंतत है।

Ques 48.

दिखाइए कि वक्र y = 3x²-7x+6, पर बिन्दुओं को, जिनकी भुज x = 1 और x = 2, हैं, मिलाने वाली जीवा उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा के समान्तर होती है जिसकी भुजा 

Ques 49.

ऐसी श्रेणी का उदाहरण दीजिए जिसके लिए , अभिसारी नहीं है लेकिन अनुक्रम (a_n) 0 की ओर अभिसरण करता है।

Ques 50.

निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण के लिए श्रेणी

की जाँच कीजिए।

Ques 51.

जाँच कीजिए :

f (x) = (x-s)³ (x+1)²

द्वारा दिए गए फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ होता है या नहीं।

Ques 52.

जाँच कीजिए कि :

द्वारा दिया गया संग्रह G, ]0,1[. का विवृत आवरक है या नहीं।

Ques 53.

समाकलों के लिए बोनट के माध्य मान प्रमेय का कथन दीजिए

दिखाने के लिए इसे लागू कीजिए।

Ques 54.

दिखाइए कि अनुक्रम (a_n), एकदिष्ट है, जहाँ उत्तर की पुष्टि कीजिए। । क्या (a_n) कॉशी अनुक्रम है? अपने

Ques 55.

जाँच कीजिए कि अंतराल [2,5] और [7,10] तुल्य हैं या नहीं।

Ques 56.

Are the following statements true or false? Give reasons for tour answers.

a) -2 is a limit point of the interval 1-3,2].

b) The series  is divergent.

The function, f(x)=sin² x is uniformly continuous in the interval [0, π).

d) Every continuous function is differentiable.

e) The function f defined on R by 

is irrational Is integrable in the interval [2,3].

Ques 57.

Prove that the union of two closed sets is a closed set. Give an example to show that union of an infinite number of closed sets need not be a closed set.

Ques 58.

Examine the function f : R→R defined by

for continuity on R. If it is not continuous at any point of R, find the nature of discontinuity there. (x+1)x+0 9-59-1

Find lim 

Ques 59.

Using the principle of mathematical induction, prove that   is natural numbuer.

Ques 60.

Show that there is no real number, & for which the equation,  has two distinct roots in the interval [2,3].

Ques 61.

Let :[-3,3]→ R be defined by where [x] denotes the greatest integer ≤x. Show that this function is integrable.

Ques 62.

Prove that the function  defined by

l is discontinuous, , using the sequential definition of continuity.

Ques 63.

Examine the convergence of the following series

(i)

(ii) 

Ques 64.

Prove that the set of integers is countable.

Ques 65.

Prove that

Ques 66.

Prove that the sequence  is convergent where (_n) is a bounded sequence.

Ques 67.

Prove that continuous function of a continuous function is continuous.

Ques 68.

Examine the function, for extreme values

Ques 69.

Show that the series   is uniformly convergent in  for any a>0.

Ques 70.

Give an example of an infinite set with finite number of limit points, with proper justification.

Ques 71.

Show that

(i) 

(ii)

Ques 72.

For the function, defined over [1,5], verify:  where P is the partition which divides [1.5] into four equal intervals. 

Ques 73.

Let (a) be a sequence defined as show that (a_n) converges 

Ques 74.

Using the sequential definition of the continuity, prove that the function defined

by: is discontinuous at each real number.

Ques 75.

Show that on the curve, the chord joining the points whose abscissa are x=1 and x=2. is parallel to the tangent at the whose abscissa is

Ques 76.

Give an example of a series ∑ such that  ∑ is not convergent but the sequence converges to 0.

Ques 77.

Test the series:

 for absolute and conditional convergenc

Ques 78.

Check whether the function  given by:

has local maxima and local minima.

Ques 79.

Check, whether the collection given by:  open cover of 

Ques 80.

State Bonnet's mean value theorem for integrals. Apply it to show that:

Ques 81.

Show that the sequence (a), where   is monotonic. Is  Cauchy sequence  Justify your answer.

Ques 82.

Check whether the intervals [2.5] and [7,10] are equivalent or not.

Ques 83.

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

क) - 2 अंतराल  ]-3,2]  का सीमा बिन्दु है।

ख) श्रेणी   अपसारी है।

ग) फलन f (x) = sin²x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।

घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

ड.)  द्वारा पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।

Ques 84.

सिद्ध कीजिए कि दो संवृत समुच्चयों का सम्मिलन संवृत समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि संवृत समुच्चयों की परिमित संख्या का सम्मिलन संवृत समुच्चय नहीं भी हो सकता है।

Ques 85.

R पर सातत्य के लिए

द्वारा परिभाषित फलन f: IR IR की जाँच कीजिए। यदि R के किसी बिन्दु पर सतत नहीं है तब असातत्य का प्रकार ज्ञात कीजिए

Ques 86.

   ज्ञात कीजिए।

Ques 87.

गणितीय आगम नियम द्वारा सिद्ध कीजिए कि    एक प्राकृत संख्या है,  

Ques 88.

दिखाइए कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए समीकरण x⁴-3x²+k=0 के अंतराल [2,3] में दो अलग-अलग मूल होते हैं।

Ques 89.

मान लीजिए    द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।

Ques 90.

सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f असतत है,  I

Ques 91.

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:

i) 

ii)  

Ques 92.

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।

Ques 93.

सिद्ध कीजिए कि

Ques 94.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम   अभिसारी। है जहाँ {a_n} परिबद्ध अनुक्रम है।

Ques 95.

सिद्ध कीजिए कि संतत फलन का संतत फलन संतत होता है।

Ques 96.

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x+1)³ (x-3)² की जाँच कीजिए।

Ques 97.

दिखाइए कि किसी भी a > 0 श्रेणी में एकसमानतः अभिसारी है।

Ques 98.

उचित पुष्टि के साथ सीमा बिन्दुओं की परिमित संख्या वाले एक अपरिमित समुच्चय का उदाहरण दीजिए।

Ques 99.

दिखाइए कि

i)   

ii)   

Ques 100.

[1,5] पर परिभाषित फलन f(x) = x²-2 के लिए सत्यापित कीजिए L(P, f) ≤U(-P, f) जहाँ P एक विभाजन है जो [1,5] को चार बराबर अंतरालों में विभाजित करता है।

Ques 101.

मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {a_n} है। दिखाइए कि {a_n} शून्य तक अभिसरण करता है।

Ques 102.

फलन के सांतत्य की अनुक्रमिक परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असंतत है।

Ques 103.

दिखाइए कि वक्र y = 3x²-7x+6, पर बिन्दुओं को, जिनकी भुज x = 1 और x = 2, हैं, मिलाने वाली जीवा उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा के समान्तर होती है जिसकी भुजा 

Ques 104.

ऐसी श्रेणी का उदाहरण दीजिए जिसके लिए , अभिसारी नहीं है लेकिन अनुक्रम (a_n) 0 की ओर अभिसरण करता है।

Ques 105.

निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण के लिए श्रेणी

की जाँच कीजिए।

Ques 106.

जाँच कीजिए :

f (x) = (x-s)³ (x+1)²

द्वारा दिए गए फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ होता है या नहीं।

Ques 107.

जाँच कीजिए कि :

द्वारा दिया गया संग्रह G, ]0,1[. का विवृत आवरक है या नहीं।

Ques 108.

समाकलों के लिए बोनट के माध्य मान प्रमेय का कथन दीजिए

दिखाने के लिए इसे लागू कीजिए।

Ques 109.

दिखाइए कि अनुक्रम (a_n), एकदिष्ट है, जहाँ उत्तर की पुष्टि कीजिए। । क्या (a_n) कॉशी अनुक्रम है? अपने

Ques 110.

जाँच कीजिए कि अंतराल [2,5] और [7,10] तुल्य हैं या नहीं।

Ques 111.

Are the following statements true or false? Give reasons for tour answers.

a) -2 is a limit point of the interval 1-3,2].

b) The series  is divergent.

The function, f(x)=sin² x is uniformly continuous in the interval [0, π).

d) Every continuous function is differentiable.

e) The function f defined on R by 

is irrational Is integrable in the interval [2,3].

Ques 112.

Prove that the union of two closed sets is a closed set. Give an example to show that union of an infinite number of closed sets need not be a closed set.

Ques 113.

Examine the function f : R→R defined by

for continuity on R. If it is not continuous at any point of R, find the nature of discontinuity there. (x+1)x+0 9-59-1

Find lim 

Ques 114.

Using the principle of mathematical induction, prove that   is natural numbuer.

Ques 115.

Show that there is no real number, & for which the equation,  has two distinct roots in the interval [2,3].

Ques 116.

Let :[-3,3]→ R be defined by where [x] denotes the greatest integer ≤x. Show that this function is integrable.

Ques 117.

Prove that the function  defined by

l is discontinuous, , using the sequential definition of continuity.

Ques 118.

Examine the convergence of the following series

(i)

(ii) 

Ques 119.

Prove that the set of integers is countable.

Ques 120.

Prove that

Ques 121.

Prove that the sequence  is convergent where (_n) is a bounded sequence.

Ques 122.

Prove that continuous function of a continuous function is continuous.

Ques 123.

Examine the function, for extreme values

Ques 124.

Show that the series   is uniformly convergent in  for any a>0.

Ques 125.

Give an example of an infinite set with finite number of limit points, with proper justification.

Ques 126.

Show that

(i) 

(ii)

Ques 127.

For the function, defined over [1,5], verify:  where P is the partition which divides [1.5] into four equal intervals. 

Ques 128.

Let (a) be a sequence defined as show that (a_n) converges 

Ques 129.

Using the sequential definition of the continuity, prove that the function defined

by: is discontinuous at each real number.

Ques 130.

Show that on the curve, the chord joining the points whose abscissa are x=1 and x=2. is parallel to the tangent at the whose abscissa is

Ques 131.

Give an example of a series ∑ such that  ∑ is not convergent but the sequence converges to 0.

Ques 132.

Test the series:

 for absolute and conditional convergenc

Ques 133.

Check whether the function  given by:

has local maxima and local minima.

Ques 134.

Check, whether the collection given by:  open cover of 

Ques 135.

State Bonnet's mean value theorem for integrals. Apply it to show that:

Ques 136.

Show that the sequence (a), where   is monotonic. Is  Cauchy sequence  Justify your answer.

Ques 137.

Check whether the intervals [2.5] and [7,10] are equivalent or not.

Ques 138.

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

क) - 2 अंतराल  ]-3,2]  का सीमा बिन्दु है।

ख) श्रेणी   अपसारी है।

ग) फलन f (x) = sin²x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।

घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

ड.)  द्वारा पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।

Ques 139.

सिद्ध कीजिए कि दो संवृत समुच्चयों का सम्मिलन संवृत समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि संवृत समुच्चयों की परिमित संख्या का सम्मिलन संवृत समुच्चय नहीं भी हो सकता है।

Ques 140.

R पर सातत्य के लिए

द्वारा परिभाषित फलन f: IR IR की जाँच कीजिए। यदि R के किसी बिन्दु पर सतत नहीं है तब असातत्य का प्रकार ज्ञात कीजिए

Ques 141.

   ज्ञात कीजिए।

Ques 142.

गणितीय आगम नियम द्वारा सिद्ध कीजिए कि    एक प्राकृत संख्या है,  

Ques 143.

दिखाइए कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए समीकरण x⁴-3x²+k=0 के अंतराल [2,3] में दो अलग-अलग मूल होते हैं।

Ques 144.

मान लीजिए    द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।

Ques 145.

सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f असतत है,  I

Ques 146.

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:

i) 

ii)  

Ques 147.

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।

Ques 148.

सिद्ध कीजिए कि

Ques 149.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम   अभिसारी। है जहाँ {a_n} परिबद्ध अनुक्रम है।

Ques 150.

सिद्ध कीजिए कि संतत फलन का संतत फलन संतत होता है।

Ques 151.

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x+1)³ (x-3)² की जाँच कीजिए।

Ques 152.

दिखाइए कि किसी भी a > 0 श्रेणी में एकसमानतः अभिसारी है।

Ques 153.

उचित पुष्टि के साथ सीमा बिन्दुओं की परिमित संख्या वाले एक अपरिमित समुच्चय का उदाहरण दीजिए।

Ques 154.

दिखाइए कि

i)   

ii)   

Ques 155.

[1,5] पर परिभाषित फलन f(x) = x²-2 के लिए सत्यापित कीजिए L(P, f) ≤U(-P, f) जहाँ P एक विभाजन है जो [1,5] को चार बराबर अंतरालों में विभाजित करता है।

Ques 156.

मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {a_n} है। दिखाइए कि {a_n} शून्य तक अभिसरण करता है।

Ques 157.

फलन के सांतत्य की अनुक्रमिक परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असंतत है।

Ques 158.

दिखाइए कि वक्र y = 3x²-7x+6, पर बिन्दुओं को, जिनकी भुज x = 1 और x = 2, हैं, मिलाने वाली जीवा उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा के समान्तर होती है जिसकी भुजा 

Ques 159.

ऐसी श्रेणी का उदाहरण दीजिए जिसके लिए , अभिसारी नहीं है लेकिन अनुक्रम (a_n) 0 की ओर अभिसरण करता है।

Ques 160.

निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण के लिए श्रेणी

की जाँच कीजिए।

Ques 161.

जाँच कीजिए :

f (x) = (x-s)³ (x+1)²

द्वारा दिए गए फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ होता है या नहीं।

Ques 162.

जाँच कीजिए कि :

द्वारा दिया गया संग्रह G, ]0,1[. का विवृत आवरक है या नहीं।

Ques 163.

समाकलों के लिए बोनट के माध्य मान प्रमेय का कथन दीजिए

दिखाने के लिए इसे लागू कीजिए।

Ques 164.

दिखाइए कि अनुक्रम (a_n), एकदिष्ट है, जहाँ उत्तर की पुष्टि कीजिए। । क्या (a_n) कॉशी अनुक्रम है? अपने

Ques 165.

जाँच कीजिए कि अंतराल [2,5] और [7,10] तुल्य हैं या नहीं।

Ques 166.

Are the following statements true or false? Give reasons for tour answers.

a) -2 is a limit point of the interval 1-3,2].

b) The series  is divergent.

The function, f(x)=sin² x is uniformly continuous in the interval [0, π).

d) Every continuous function is differentiable.

e) The function f defined on R by 

is irrational Is integrable in the interval [2,3].

Ques 167.

Prove that the union of two closed sets is a closed set. Give an example to show that union of an infinite number of closed sets need not be a closed set.

Ques 168.

Examine the function f : R→R defined by

for continuity on R. If it is not continuous at any point of R, find the nature of discontinuity there. (x+1)x+0 9-59-1

Find lim 

Ques 169.

Using the principle of mathematical induction, prove that   is natural numbuer.

Ques 170.

Show that there is no real number, & for which the equation,  has two distinct roots in the interval [2,3].

Ques 171.

Let :[-3,3]→ R be defined by where [x] denotes the greatest integer ≤x. Show that this function is integrable.

Ques 172.

Prove that the function  defined by

l is discontinuous, , using the sequential definition of continuity.

Ques 173.

Examine the convergence of the following series

(i)

(ii) 

Ques 174.

Prove that the set of integers is countable.

Ques 175.

Prove that

Ques 176.

Prove that the sequence  is convergent where (_n) is a bounded sequence.

Ques 177.

Prove that continuous function of a continuous function is continuous.

Ques 178.

Examine the function, for extreme values

Ques 179.

Show that the series   is uniformly convergent in  for any a>0.

Ques 180.

Give an example of an infinite set with finite number of limit points, with proper justification.

Ques 181.

Show that

(i) 

(ii)

Ques 182.

For the function, defined over [1,5], verify:  where P is the partition which divides [1.5] into four equal intervals. 

Ques 183.

Let (a) be a sequence defined as show that (a_n) converges 

Ques 184.

Using the sequential definition of the continuity, prove that the function defined

by: is discontinuous at each real number.

Ques 185.

Show that on the curve, the chord joining the points whose abscissa are x=1 and x=2. is parallel to the tangent at the whose abscissa is

Ques 186.

Give an example of a series ∑ such that  ∑ is not convergent but the sequence converges to 0.

Ques 187.

Test the series:

 for absolute and conditional convergenc

Ques 188.

Check whether the function  given by:

has local maxima and local minima.

Ques 189.

Check, whether the collection given by:  open cover of 

Ques 190.

State Bonnet's mean value theorem for integrals. Apply it to show that:

Ques 191.

Show that the sequence (a), where   is monotonic. Is  Cauchy sequence  Justify your answer.

Ques 192.

Check whether the intervals [2.5] and [7,10] are equivalent or not.

Ques 193.

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

क) - 2 अंतराल  ]-3,2]  का सीमा बिन्दु है।

ख) श्रेणी   अपसारी है।

ग) फलन f (x) = sin²x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।

घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

ड.)  द्वारा पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।

Ques 194.

सिद्ध कीजिए कि दो संवृत समुच्चयों का सम्मिलन संवृत समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि संवृत समुच्चयों की परिमित संख्या का सम्मिलन संवृत समुच्चय नहीं भी हो सकता है।

Ques 195.

R पर सातत्य के लिए

द्वारा परिभाषित फलन f: IR IR की जाँच कीजिए। यदि R के किसी बिन्दु पर सतत नहीं है तब असातत्य का प्रकार ज्ञात कीजिए

Ques 196.

   ज्ञात कीजिए।

Ques 197.

गणितीय आगम नियम द्वारा सिद्ध कीजिए कि    एक प्राकृत संख्या है,  

Ques 198.

दिखाइए कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए समीकरण x⁴-3x²+k=0 के अंतराल [2,3] में दो अलग-अलग मूल होते हैं।

Ques 199.

मान लीजिए    द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।

Ques 200.

सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f असतत है,  I

Ques 201.

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:

i) 

ii)  

Ques 202.

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।

Ques 203.

सिद्ध कीजिए कि

Ques 204.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम   अभिसारी। है जहाँ {a_n} परिबद्ध अनुक्रम है।

Ques 205.

सिद्ध कीजिए कि संतत फलन का संतत फलन संतत होता है।

Ques 206.

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x+1)³ (x-3)² की जाँच कीजिए।

Ques 207.

दिखाइए कि किसी भी a > 0 श्रेणी में एकसमानतः अभिसारी है।

Ques 208.

उचित पुष्टि के साथ सीमा बिन्दुओं की परिमित संख्या वाले एक अपरिमित समुच्चय का उदाहरण दीजिए।

Ques 209.

दिखाइए कि

i)   

ii)   

Ques 210.

[1,5] पर परिभाषित फलन f(x) = x²-2 के लिए सत्यापित कीजिए L(P, f) ≤U(-P, f) जहाँ P एक विभाजन है जो [1,5] को चार बराबर अंतरालों में विभाजित करता है।

Ques 211.

मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {a_n} है। दिखाइए कि {a_n} शून्य तक अभिसरण करता है।

Ques 212.

फलन के सांतत्य की अनुक्रमिक परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असंतत है।

Ques 213.

दिखाइए कि वक्र y = 3x²-7x+6, पर बिन्दुओं को, जिनकी भुज x = 1 और x = 2, हैं, मिलाने वाली जीवा उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा के समान्तर होती है जिसकी भुजा 

Ques 214.

ऐसी श्रेणी का उदाहरण दीजिए जिसके लिए , अभिसारी नहीं है लेकिन अनुक्रम (a_n) 0 की ओर अभिसरण करता है।

Ques 215.

निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण के लिए श्रेणी

की जाँच कीजिए।

Ques 216.

जाँच कीजिए :

f (x) = (x-s)³ (x+1)²

द्वारा दिए गए फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ होता है या नहीं।

Ques 217.

जाँच कीजिए कि :

द्वारा दिया गया संग्रह G, ]0,1[. का विवृत आवरक है या नहीं।

Ques 218.

समाकलों के लिए बोनट के माध्य मान प्रमेय का कथन दीजिए

दिखाने के लिए इसे लागू कीजिए।

Ques 219.

दिखाइए कि अनुक्रम (a_n), एकदिष्ट है, जहाँ उत्तर की पुष्टि कीजिए। । क्या (a_n) कॉशी अनुक्रम है? अपने

Ques 220.

जाँच कीजिए कि अंतराल [2,5] और [7,10] तुल्य हैं या नहीं।

Ques 221.

Are the following statements true or false? Give reasons for tour answers.

a) -2 is a limit point of the interval 1-3,2].

b) The series  is divergent.

The function, f(x)=sin² x is uniformly continuous in the interval [0, π).

d) Every continuous function is differentiable.

e) The function f defined on R by 

is irrational Is integrable in the interval [2,3].

Ques 222.

Prove that the union of two closed sets is a closed set. Give an example to show that union of an infinite number of closed sets need not be a closed set.

Ques 223.

Examine the function f : R→R defined by

for continuity on R. If it is not continuous at any point of R, find the nature of discontinuity there. (x+1)x+0 9-59-1

Find lim 

Ques 224.

Using the principle of mathematical induction, prove that   is natural numbuer.

Ques 225.

Show that there is no real number, & for which the equation,  has two distinct roots in the interval [2,3].

Ques 226.

Let :[-3,3]→ R be defined by where [x] denotes the greatest integer ≤x. Show that this function is integrable.

Ques 227.

Prove that the function  defined by

l is discontinuous, , using the sequential definition of continuity.

Ques 228.

Examine the convergence of the following series

(i)

(ii) 

Ques 229.

Prove that the set of integers is countable.

Ques 230.

Prove that

Ques 231.

Prove that the sequence  is convergent where (_n) is a bounded sequence.

Ques 232.

Prove that continuous function of a continuous function is continuous.

Ques 233.

Examine the function, for extreme values

Ques 234.

Show that the series   is uniformly convergent in  for any a>0.

Ques 235.

Give an example of an infinite set with finite number of limit points, with proper justification.

Ques 236.

Show that

(i) 

(ii)

Ques 237.

For the function, defined over [1,5], verify:  where P is the partition which divides [1.5] into four equal intervals. 

Ques 238.

Let (a) be a sequence defined as show that (a_n) converges 

Ques 239.

Using the sequential definition of the continuity, prove that the function defined

by: is discontinuous at each real number.

Ques 240.

Show that on the curve, the chord joining the points whose abscissa are x=1 and x=2. is parallel to the tangent at the whose abscissa is

Ques 241.

Give an example of a series ∑ such that  ∑ is not convergent but the sequence converges to 0.

Ques 242.

Test the series:

 for absolute and conditional convergenc

Ques 243.

Check whether the function  given by:

has local maxima and local minima.

Ques 244.

Check, whether the collection given by:  open cover of 

Ques 245.

State Bonnet's mean value theorem for integrals. Apply it to show that:

Ques 246.

Show that the sequence (a), where   is monotonic. Is  Cauchy sequence  Justify your answer.

Ques 247.

Check whether the intervals [2.5] and [7,10] are equivalent or not.

Ques 248.

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

क) - 2 अंतराल  ]-3,2]  का सीमा बिन्दु है।

ख) श्रेणी   अपसारी है।

ग) फलन f (x) = sin²x अंतराल [0,] पर एकसमानतः सतत है।

घ) प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

ड.)  द्वारा पर परिभाषित फलन ƒ अंतराल [2, 3] में समाकलनीय है।

Ques 249.

सिद्ध कीजिए कि दो संवृत समुच्चयों का सम्मिलन संवृत समुच्चय है। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण दीजिए कि संवृत समुच्चयों की परिमित संख्या का सम्मिलन संवृत समुच्चय नहीं भी हो सकता है।

Ques 250.

R पर सातत्य के लिए

द्वारा परिभाषित फलन f: IR IR की जाँच कीजिए। यदि R के किसी बिन्दु पर सतत नहीं है तब असातत्य का प्रकार ज्ञात कीजिए

Ques 251.

   ज्ञात कीजिए।

Ques 252.

गणितीय आगम नियम द्वारा सिद्ध कीजिए कि    एक प्राकृत संख्या है,  

Ques 253.

दिखाइए कि ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसके लिए समीकरण x⁴-3x²+k=0 के अंतराल [2,3] में दो अलग-अलग मूल होते हैं।

Ques 254.

मान लीजिए    द्वारा परिभाषित है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। दिखाइए कि यह फलन समाकलनीय है।

Ques 255.

सातत्य की अनुक्रमिक परिभाषा द्वारा सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f असतत है,  I

Ques 256.

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए:

i) 

ii)  

Ques 257.

सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है।

Ques 258.

सिद्ध कीजिए कि

Ques 259.

सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम   अभिसारी। है जहाँ {a_n} परिबद्ध अनुक्रम है।

Ques 260.

सिद्ध कीजिए कि संतत फलन का संतत फलन संतत होता है।

Ques 261.

चरम मानों के लिए फलन f(x) = (x+1)³ (x-3)² की जाँच कीजिए।

Ques 262.

दिखाइए कि किसी भी a > 0 श्रेणी में एकसमानतः अभिसारी है।

Ques 263.

उचित पुष्टि के साथ सीमा बिन्दुओं की परिमित संख्या वाले एक अपरिमित समुच्चय का उदाहरण दीजिए।

Ques 264.

दिखाइए कि

i)   

ii)   

Ques 265.

[1,5] पर परिभाषित फलन f(x) = x²-2 के लिए सत्यापित कीजिए L(P, f) ≤U(-P, f) जहाँ P एक विभाजन है जो [1,5] को चार बराबर अंतरालों में विभाजित करता है।

Ques 266.

मान लीजिए के रूप में परिभाषित अनुक्रम {a_n} है। दिखाइए कि {a_n} शून्य तक अभिसरण करता है।

Ques 267.

फलन के सांतत्य की अनुक्रमिक परिभाषा का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि

द्वारा परिभाषित फलन f, प्रत्येक वास्तविक संख्या पर असंतत है।

Ques 268.

दिखाइए कि वक्र y = 3x²-7x+6, पर बिन्दुओं को, जिनकी भुज x = 1 और x = 2, हैं, मिलाने वाली जीवा उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा के समान्तर होती है जिसकी भुजा 

Ques 269.

ऐसी श्रेणी का उदाहरण दीजिए जिसके लिए , अभिसारी नहीं है लेकिन अनुक्रम (a_n) 0 की ओर अभिसरण करता है।

Ques 270.

निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण के लिए श्रेणी

की जाँच कीजिए।

Ques 271.

जाँच कीजिए :

f (x) = (x-s)³ (x+1)²

द्वारा दिए गए फलन f का स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ होता है या नहीं।

Ques 272.

जाँच कीजिए कि :

द्वारा दिया गया संग्रह G, ]0,1[. का विवृत आवरक है या नहीं।

Ques 273.

समाकलों के लिए बोनट के माध्य मान प्रमेय का कथन दीजिए

दिखाने के लिए इसे लागू कीजिए।

Ques 274.

दिखाइए कि अनुक्रम (a_n), एकदिष्ट है, जहाँ उत्तर की पुष्टि कीजिए। । क्या (a_n) कॉशी अनुक्रम है? अपने

Ques 275.

जाँच कीजिए कि अंतराल [2,5] और [7,10] तुल्य हैं या नहीं।

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