IGNOU MTE 6 SOLVED ASSIGNMENT 2025

Ques 1.

Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.)

i) (n) = n-1∀n ∈ N, where o is the Euler-phi function.

ii) If G₁ and G₂ are groups, and f: G₁→ G₂ is a group homomorphism, then 2 o(G₁) = 0(G2).

If G is an abelian group, then G is cyclic.

iv) If G is a group and HAG, then | G: H=2.

v) Every element of S has order at most n.

vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then xr = rx ∀ x ∈ I and re R.

vii) If σε S_n(n ≥3) is a product of an even number of disjoint cycles, then sign (σ)=1.

viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.

ix) The characteristic of a finite field is zero.

x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to R form a ring with respect to point- wise addition and multiplication.

Ques 2.

Define a relation R on Z, by R = {(n, n+3k)|k∈ Z}.Check whether R is an equivalence relation or not. If it is, find all the distinct equivalence classes. If R is not an equivalence relation, define an equivalence relation on Z.

Ques 3.

Consider the set X = R \{-1}. Define * on X by

X₁ * X2 = X + X2 + X₁X2 X1, X2 Ε Χ.

i) Check whether (X, *) is a group or not.

ii) Prove that x * x*x*...*x (n times) = (1+x)" -1∀ n∈ N and x ∈ X.

Ques 4.

Give an example, with justification, of a commutative subgroup of a non- commutative group.

Ques 5.

Check whether or not A = {z∈ C^*I IzI∈Q} is a subgroup of

i) (C,.),       ii)  (C, +)

Ques 6.

Let (G,.) be a finite abelian group and me N. Prove that S={g∈Gl(o(g), m) = 1}

Ques 7.

Let G be a group of order n ≥ 2, with only two subgroups - {e} and itself. Find a minimal generating set for G. Also, find out whether n is a prime or a composite number, or can be either.

Ques 8.

Consider the map f_ab: R→R: f_ab(x)=ax+b. Let B = {f_ab, Ia, b ∈ R, a≠0}. Then B is a group with respect to the composition of functions. Check whether or not A={f_ab I a ∈ Q⁺, b∈ R} is a normal subgroup of B. 

Ques 9.

Explicitly give the elements and structure of the group S_n/A_n, n ≥5. 

Ques 10.

Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup.

Ques 11.

Find a group G, and a homomorphism Ø of G, so that Ø (G)=S3 and Ker Ø = A4. Is G abelian? Give reasons for your answer.

Ques 12.

Let G be a group such that Aut G is cyclic. Prove that G is abelian.

Ques 13.

Check whether  is a subring of the ring M₂(Z) or not. If it is, check whether or not it is an ideal of the ring also. If I is not a subring of the ring, then provide a subring of the ring.

Ques 14.

Prove that   as rings.

Ques 15.

Find all the units of Z₁₂.

Ques 16.

Let R be a commutative ring with unity and re R. Prove that  using

the Fundamental Theorem of Homomorphism.

Hence show that .

Ques 17.

Let . Check whether D is a UFD or not.

Ques 18.

Let R = [√2] and M = (a+b√2∈ R 51a and 51b).

i) Show that M is an ideal of R.

ii) Show that if 5 Ja or 5]b, then 5] (a²+b²), for a, b∈ Z..

iii) Hence show that if N is an ideal of R properly containing M, then N = R.

iv) Show that R/M is a field, and give two distinct non-zero elements of this  field.

Ques 19.

Show that there are infinitely many values of a for which x² +15x²-30x + a is irreducible in Q[x].

Ques 20.

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असल्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो तो ऐसा कहने। ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)

(i)    जहाँ φ  के ऑयलर-फाई फलन है।

ii) यदि G₁, और G₂, समूह हैं, तथा f:G₁, G^₂, एक समूह समाकारिता है, तो ० (G₁)=o(G₂) होगा।

iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।

iv) यदि G एक समूह है तथा  तो | G:H|= 2 होता है।

v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा होती है।

vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली 1 है, तो  और 

vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो sign(Q) = 1 होता है।

viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।

ix) परिमित क्षेत्र का अभिलक्षणिक शून्य होता है।

x) [0, 1] से R तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

Ques 21.

  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R. एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए।

Ques 22.

समुच्चय  पर विचार कीजिए। X पर ∗ को

द्वारा परिभाषित कीजिए।

i) जाँच कीजिए कि (X,*) एक समूह है या नहीं।

ii) सिद्ध कीजिए कि x*x*x*...*x (n बार) =

Ques 23.

पुष्टिकरण के साथ, किन्सी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमाविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए। 

Ques 24.

जाँच कीजिए कि  निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं:

i)                   ii)    

Ques 25.

मान लीजिए कि (G,.) एक परिमित आबेली समूह है तथा  सिद्ध कीजिए कि  

Ques 26.

मान लीजिए कि G कोटि  वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या । एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है।

Ques 27.

फलन  पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि   तब फलन के संजन के सापेक्षा B एक समूह है। जाँच  कीजिए  कि  उपसमूह है या नहीं। 

Ques 28.

) के और इसकी संरचनाको स्पष्ट शम में दीजिए। 

Ques 29.

मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए।

Ques 30.

एक ऐसा समूह G तथा G की एक ऐसी समाकारिता Ø ज्ञात कीजिए, जिससे   कि हो तथा  हो। क्या G आबेली होगा? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Ques 31.

मान लीजिए कि G एक ऐसा समूह है कि AutG चक्रीय है। सिद्ध कीजिए कि G आबेली होगा

Ques 32.

मान लीजिए कि   वलय M₂ (Z) का एक उपवलय है या नहीं।

यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए।

Ques 33.

सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, 

Ques 34.

के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।

Ques 35.

क मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय है और . समाकारिता के मूल प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि इस तरह, दर्शाइए कि 

Ques 36.

मान लीजिए कि जाँच कीजिए कि D एक UFD है या नहीं। 

Ques 37.

मान लीजिए कि तथा और

i) दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।

ii) दर्शाइए कि यदि 5/ a या 5/b, तो 5/ (a²+b²), जहां a, 

अत, दर्शाइए कि यदि N. R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित उपसमुच्चय है, तो N = R होगा।

iv) दर्शाइए कि  एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।

Ques 38.

दर्शाइए कि के अंततः अनेक मान हैं जिनके लिए  अखंडनीय है।

Ques 39.

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असल्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो तो ऐसा कहने। ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)

(i)    जहाँ φ  के ऑयलर-फाई फलन है।

ii) यदि G₁, और G₂, समूह हैं, तथा f:G₁, G^₂, एक समूह समाकारिता है, तो ० (G₁)=o(G₂) होगा।

iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।

iv) यदि G एक समूह है तथा  तो | G:H|= 2 होता है।

v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा होती है।

vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली 1 है, तो  और 

vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो sign(Q) = 1 होता है।

viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।

ix) परिमित क्षेत्र का अभिलक्षणिक शून्य होता है।

x) [0, 1] से R तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

Ques 40.

  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R. एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए।

Ques 41.

समुच्चय  पर विचार कीजिए। X पर ∗ को

द्वारा परिभाषित कीजिए।

i) जाँच कीजिए कि (X,*) एक समूह है या नहीं।

ii) सिद्ध कीजिए कि x*x*x*...*x (n बार) =

Ques 42.

पुष्टिकरण के साथ, किन्सी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमाविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए। 

Ques 43.

जाँच कीजिए कि  निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं:

i)                   ii)    

Ques 44.

मान लीजिए कि (G,.) एक परिमित आबेली समूह है तथा  सिद्ध कीजिए कि  

Ques 45.

मान लीजिए कि G कोटि  वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या । एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है।

Ques 46.

फलन  पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि   तब फलन के संजन के सापेक्षा B एक समूह है। जाँच  कीजिए  कि  उपसमूह है या नहीं। 

Ques 47.

 के और इसकी संरचनाको स्पष्ट शम में दीजिए। 

Ques 48.

मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए।

Ques 49.

एक ऐसा समूह G तथा G की एक ऐसी समाकारिता Ø ज्ञात कीजिए, जिससे   कि हो तथा  हो। क्या G आबेली होगा? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।

Ques 50.

मान लीजिए कि G एक ऐसा समूह है कि AutG चक्रीय है। सिद्ध कीजिए कि G आबेली होगा।

Ques 51.

मान लीजिए कि   वलय M₂ (Z) का एक उपवलय है या नहीं।

यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए।

Ques 52.

सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, 

Ques 53.

  के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।

Ques 54.

मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय है और . समाकारिता के मूल प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि इस तरह, दर्शाइए कि 

Ques 55.

मान लीजिए कि जाँच कीजिए कि D एक UFD है या नहीं।

Ques 56.

मान लीजिए कि तथा और

i) दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।

ii) दर्शाइए कि यदि 5/ a या 5/b, तो 5/ (a²+b²), जहां a, 

अत, दर्शाइए कि यदि N. R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित उपसमुच्चय है, तो N = R होगा।

iv) दर्शाइए कि  एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।

Ques 57.

दर्शाइए कि के अंततः अनेक मान हैं जिनके लिए  अखंडनीय है।

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