IGNOU MTE 6 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ  ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G₁ और G₂ समूह हैं, तथा  एक समूह समाकारिता है, तो  होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो  होता है।
v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो  और ।
vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो  होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से  तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

Ques 2.

क)  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)

Ques 3.

समुच्चय  पर विचार कीजिए। X पर को  द्वारा परिभाषित कीजिए।

Ques 4.

जाँच कीजिए कि (X, ) एक समूह है या नहीं।

Ques 5.

 सिद्ध कीजिए कि  (n बार)  और . 

Ques 6.

पुष्टिकरण के साथ, किसी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए।

Ques 7.

जाँच कीजिए कि  निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं :

Ques 8.

i) ,  ii)  
(ख) मान लीजिए कि  एक परिमित आबेली समूह है तथा . सिद्ध कीजिए कि

Ques 9.

. 
(ग) मान लीजिए कि G कोटि  वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं -  और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या n एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है। 

Ques 10.

 (क) फलन  पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि . तब, फलनों के संयोजन के सापेक्ष B एक समूह है। जाँच कीजिए कि , B का एक प्रसामान्य उपसमूह है या नहीं। (4)

Ques 11.

 समूह , के अवयवों और इसकी संरचना को स्पष्ट रूप में दीजिए। 

Ques 12.

मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए। 

Ques 13.

 एक ऐसा समूह G तथा G की एक ऐसी समाकारिता  ज्ञात कीजिए, जिससे कि  हो तथा  हो। क्या G आबेली होगा? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 

Ques 14.

मान लीजिए कि G एक ऐसा समूह है कि  चक्रीय है। सिद्ध कीजिए कि G आबेली होगा।

Ques 15.

जाँच कीजिए कि  वलय  का एक उपवलय है या नहीं। यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए। 

Ques 16.

सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, . 

Ques 17.

 के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।

Ques 18.

 मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय है और . समाकारिता के मूल प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि

.
इस तरह, दर्शाइए कि 

Ques 19.

 मान लीजिए कि . जाँच कीजिए कि D एक UFD है या नहीं। 

Ques 20.

क) मान लीजिए कि  तथा  

Ques 21.

दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।

Ques 22.

र्शाइए कि यदि  या , तो , जहां .

Ques 23.

अतः, दर्शाइए कि यदि N, R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित

Ques 24.

अतः, दर्शाइए कि यदि N, R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित उपसमुच्चय है, तो  होगा।

Ques 25.

दर्शाइए कि R/M एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।

Ques 26.

दर्शाइए कि  के अनंततः अनेक मान हैं जिनके लिए  में  अखंडनीय है।

Ques 27.

Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.) (20)
i) , where  is the Euler-phi function.
ii) If G₁ and G₂ are groups, and  is a group homomorphism, then .
iii) If G is an abelian group, then G is cyclic.
iv) If G is a group and , then .
v) Every element of S_n has order at most n.
vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then  and .
vii) If  is a product of an even number of disjoint cycles, then .
viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.
ix) The characteristic of a finite field is zero.
x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to  form a ring with respect to point-wise addition and multiplication.

Ques 28.

) Define a relation R on , by .

Check whether R is an equivalence relation or not. If it is, find all the distinct equivalence classes. If R is not an equivalence relation, define an equivalence relation on .

Ques 29.

Consider the set . Define *  onX by

.

Ques 30.

 Check whether (X, ) is a group or not.

Ques 31.

 Prove that  and .

Ques 32.

Give an example, with justification, of a commutative subgroup of a non-commutative group.

Ques 33.

Check whether or not  is a subgroup of

i) ,       ii) 

Ques 34.

Let  be a finite abelian group and . Prove that

.

Ques 35.

Let G be a group of order , with only two subgroups —  and itself. Find a minimal generating set for G. Also, find out whether n is a prime or a composite number, or can be either. 

Ques 36.

Consider the map . Let . Then B is a group with respect to the composition of functions. Check whether or not  is a normal subgroup of B. 

Ques 37.

Explicitly give the elements and structure of the group S_n / A_n, . 

Ques 38.

Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup. 

Ques 39.

Find a group G, and a homomorphism  of G, so that  and . Is G abelian? Give reasons for your answer.

Ques 40.

 Let G be a group such that  is cyclic. Prove that G is abelian. 

Ques 41.

heck whether  is a subring of the ring  or not. If it is, check whether or not it is an ideal of the ring also. If I is not a subring of the ring, then provide a subring of the ring. 

Ques 42.

Prove that  as rings. 

Ques 43.

 Find all the units of . 

Ques 44.

 Find all the units of .  Let R be a commutative ring with unity and . Prove that  using the Fundamental Theorem of Homomorphism. Hence show that . 

Ques 45.

Let . Check whether D is a UFD or not. 

Ques 46.

 Let  and 

Ques 47.

Show that M is an ideal of R.

Ques 48.

Show that if  or , then , for .

Ques 49.

Hence show that if N is an ideal of R properly containing M, then .

Ques 50.

 Show that R/M is a field, and give two distinct non-zero elements of this field. 

Ques 51.

Show that there are infinitely many values of  for which  is irreducible in . 

Ques 52.

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ  ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G₁ और G₂ समूह हैं, तथा  एक समूह समाकारिता है, तो  होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो  होता है।
v) S_n के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो  और ।
vii) यदि  सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो  होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से  तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।

Ques 53.

क)  द्वारा  पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो  पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)

Ques 54.

समुच्चय  पर विचार कीजिए। X पर को  द्वारा परिभाषित कीजिए।

Ques 55.

जाँच कीजिए कि (X, ) एक समूह है या नहीं।

Ques 56.

 सिद्ध कीजिए कि  (n बार)  और . 

Ques 57.

पुष्टिकरण के साथ, किसी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए।

Ques 58.

जाँच कीजिए कि  निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं :

Ques 59.

i) ,  ii)  
(ख) मान लीजिए कि  एक परिमित आबेली समूह है तथा . सिद्ध कीजिए कि

Ques 60.

. 
(ग) मान लीजिए कि G कोटि  वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं -  और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या n एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है। 

Ques 61.

 (क) फलन  पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि . तब, फलनों के संयोजन के सापेक्ष B एक समूह है। जाँच कीजिए कि , B का एक प्रसामान्य उपसमूह है या नहीं। (4)

Ques 62.

 समूह , के अवयवों और इसकी संरचना को स्पष्ट रूप में दीजिए। 

Ques 63.

मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए। 

Ques 64.

 एक ऐसा समूह G तथा G की एक ऐसी समाकारिता  ज्ञात कीजिए, जिससे कि  हो तथा  हो। क्या G आबेली होगा? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। 

Ques 65.

मान लीजिए कि G एक ऐसा समूह है कि  चक्रीय है। सिद्ध कीजिए कि G आबेली होगा।

Ques 66.

जाँच कीजिए कि  वलय  का एक उपवलय है या नहीं। यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए। 

Ques 67.

सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, . 

Ques 68.

 के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।

Ques 69.

 मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय है और . समाकारिता के मूल प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि

.
इस तरह, दर्शाइए कि 

Ques 70.

 मान लीजिए कि . जाँच कीजिए कि D एक UFD है या नहीं। 

Ques 71.

क) मान लीजिए कि  तथा  

Ques 72.

दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।

Ques 73.

र्शाइए कि यदि  या , तो , जहां .

Ques 74.

अतः, दर्शाइए कि यदि N, R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित

Ques 75.

अतः, दर्शाइए कि यदि N, R की एक ऐसी गुणजावली है जिसका M एक उचित उपसमुच्चय है, तो  होगा।

Ques 76.

दर्शाइए कि R/M एक क्षेत्र है, तथा इस क्षेत्र के दो अलग-अलग शून्येतर अवयव दीजिए।

Ques 77.

दर्शाइए कि  के अनंततः अनेक मान हैं जिनके लिए  में  अखंडनीय है।

Ques 78.

Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.) (20)
i) , where  is the Euler-phi function.
ii) If G₁ and G₂ are groups, and  is a group homomorphism, then .
iii) If G is an abelian group, then G is cyclic.
iv) If G is a group and , then .
v) Every element of S_n has order at most n.
vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then  and .
vii) If  is a product of an even number of disjoint cycles, then .
viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.
ix) The characteristic of a finite field is zero.
x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to  form a ring with respect to point-wise addition and multiplication.

Ques 79.

) Define a relation R on , by .

Check whether R is an equivalence relation or not. If it is, find all the distinct equivalence classes. If R is not an equivalence relation, define an equivalence relation on .

Ques 80.

Consider the set . Define *  onX by

.

Ques 81.

 Check whether (X, ) is a group or not.

Ques 82.

 Prove that  and .

Ques 83.

Give an example, with justification, of a commutative subgroup of a non-commutative group.

Ques 84.

Check whether or not  is a subgroup of

i) ,       ii) 

Ques 85.

Let  be a finite abelian group and . Prove that

.

Ques 86.

Let G be a group of order , with only two subgroups —  and itself. Find a minimal generating set for G. Also, find out whether n is a prime or a composite number, or can be either. 

Ques 87.

Consider the map . Let . Then B is a group with respect to the composition of functions. Check whether or not  is a normal subgroup of B. 

Ques 88.

Explicitly give the elements and structure of the group S_n / A_n, . 

Ques 89.

Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup. 

Ques 90.

Find a group G, and a homomorphism  of G, so that  and . Is G abelian? Give reasons for your answer.

Ques 91.

 Let G be a group such that  is cyclic. Prove that G is abelian. 

Ques 92.

heck whether  is a subring of the ring  or not. If it is, check whether or not it is an ideal of the ring also. If I is not a subring of the ring, then provide a subring of the ring. 

Ques 93.

Prove that  as rings. 

Ques 94.

 Find all the units of . 

Ques 95.

 Find all the units of .  Let R be a commutative ring with unity and . Prove that  using the Fundamental Theorem of Homomorphism. Hence show that . 

Ques 96.

Let . Check whether D is a UFD or not. 

Ques 97.

 Let  and 

Ques 98.

Show that M is an ideal of R.

Ques 99.

Show that if  or , then , for .

Ques 100.

Hence show that if N is an ideal of R properly containing M, then .

Ques 101.

 Show that R/M is a field, and give two distinct non-zero elements of this field. 

Ques 102.

Show that there are infinitely many values of  for which  is irreducible in . 

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