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IGNOU MTE 5 SOLVED ASSIGNMENT HINDI
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IGNOU MTE 5 SOLVED ASSIGNMENT HINDI
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| Title Name | IGNOU MTE 5 SOLVED ASSIGNMENT HINDI |
|---|---|
| Type | Soft Copy (E-Assignment) .pdf |
| University | IGNOU |
| Degree | BACHELOR DEGREE PROGRAMMES |
| Course Code | BSC |
| Course Name | Bachelor in Science |
| Subject Code | MTE 5 |
| Subject Name | Analytical Geometry |
| Year | 2025 |
| Session | |
| Language | English Medium |
| Assignment Code | MTE-05/Assignmentt-1//2025 |
| Product Description | Assignment of BSC (Bachelor in Science) 2025. Latest MTE 05 2025 Solved Assignment Solutions |
| Last Date of IGNOU Assignment Submission | Last Date of Submission of IGNOU MTE-05 (BSC) 2025 Assignment is for January 2025 Session: 30th September, 2025 (for December 2025 Term End Exam). Semester Wise January 2025 Session: 30th March, 2025 (for June 2025 Term End Exam). July 2025 Session: 30th September, 2025 (for December 2025 Term End Exam). |
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Questions Included in this Help Book
Ques 1.
Check whether the following statements are true or false. Justify your answer with a short explanation or a counter example.
(i) The numbers are the direction cosines of a line.
(ii) The points (1, 2), (7, 6) and (4, 4) are collinear.
(iii) The conic 12x² + 12xy + 3y² + 2x + y = 0 is degenerate.
(iv) Intersection of the ellipsoid x2 /4+ y2 /25+ z2 /4 = 1 and the plane y = 5 is a circle.
(v) The conicoid 3x² + y² + 2xy+x-y-z+1=0 is non-central.
(vi) The line y = x is a tangent to the parabola y² = cx, c > 0.
(vii) The equation 2x² + y + z + 1 = 0 represents a paraboloid.
(viii) Projection of a line segment on a line perpendicular to it is the length of the line segment.
(ix) The lines x =- y, z = 2 and x = y, z = 0 intersect each other.
(x) Every planar section of a cylinder is a circle.
Ques 2.
Trace the conic x² 2xy + y² 3x + 2y + 3 = 0.
Ques 3.
Prove that the conic passing through the points of intersection of two rectangular hyperbolas is also a rectangular hyperbola.
Ques 4.
Show that the line x = y touches the conic ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, if f + g = 0.
Ques 5.
Let P be the midpoint of the line segment joining the points A(a + b, b) and B(a - b, a + b). Find the slope of the line passing through P and Q (b,- a/2). Under what conditions on a and b, this line is parallel to the y-axis?
Ques 6.
Show that represents the equation of a line passing 1-4 7 1 through (2, 3) and (-4, 7).
Ques 7.
Prove that the equation of a line through (x1, y1) and (x2, y2) can be expressed in the form
Ques 8.
Find the eccentricity, foci, centre and directrices of the ellipse . Also 4 give a rough sketch of it.
Ques 9.
Prove that the length of the chord of a parabola which passes through the focus and which is inclined at 30° to the axis of the parabola is four times the length of the latus rectum.
Ques 10.
Find the equations of the line through (1,3,4) and parallel to the line joining the points (-4, 5, 3) and (8, 9, 7).
Ques 11.
Find the equation of the plane which passes through the line of intersection of the planes 3x + 4y - 5z = 9 and 2x+6y+6z = 7 and which is perpendicular to the plane 3x + 2y5z + 6 = 0.
Ques 12.
Find the distance of the origin from the plane which passes through (2, 1, 8), (1, 0, 2) and (-3, 4, 6).
Ques 13.
Show that the plane 2x + y + 2z = 0 is a tangent plane to the sphere x² + y² + z2-2x+2y-2z + 2 = 0.
Ques 14.
Find the equation of the sphere touching the plane 8x + 5y + 3z + 1 = 0 at (3,-1,-1) and cutting the sphere x² + y2 + z²-2x+y-z-6=0 orthogonally.
Ques 15.
Find the angle between the lines of intersection of the cone 4x2 + y² + 4z² + 4yz + 2zx = 0 and the plane x + 2y + 3z = 0.
Ques 16.
Find the equation of the cylinder with base x² + y² + z²-3x6z + 9 = 0, x - 2y+2z-6 = 0.
Ques 17.
Show that the perpendiculars drawn from the origin to tangent planes to the cone x2 y2 + 5z² + 4xy = 0 lie on the cone x2 y2 + z² + 4xy = 0.
Ques 18.
Transform the equation x² + 2y² 6z2 - 2x - 8y+3 = 0 by shifting the origin to (1, 2, 0) without changing the directions of the coordinate axes. What object does this new equation represent? Give a rough sketch of it.
Ques 19.
Show that the conicoid 2x² + 2y² + xyyz + zx + 2xy + 5z + 1 = 0 is central. Hence find its centre.
Ques 20.
Examine which of the following conicoids are central and which are non-central. Also determine which of the central conicoids have centre at the origin.
(i) x² + y² + z² + 4x + 3y – z = 0
(ii) 2x2-y2z2 + xy + yz - zx = 1
(iii) x2 + y2 - z2 -2xy -3yz - 6zx + x - 2y + 5z + 4 = 0
Ques 21.
Find the transformation of the equation 12x² - 2y2 + z² = 2xy if the origin is kept fixed and the axes are rotated in such a way that the direction ratios of the new axes are 1, -3, 0; 3, 1, 0; 0, 0, 1.
Ques 22.
Find the projection of the line segment joining the points (1,-1, 6) and (4, 3, 2) on the line x-4/ 3 = -y = z/5.
Ques 23.
Identify and trace the conicoid y² + 3z2 = x. Describe its sections by the planes y = 0 and z = 0.
Ques 24.
Find the equation of tangent plane to the conicoid x² + 3y² = 4z at (2, -4, 13). Represent the tangent plane geometrically.
Ques 25.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि लघु व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए।
(i) संख्याएँ एक रेखा की दिक्कोज्याएं हैं।
(ii) बिंदु (1, 2), (7,6) और (4,4) संरेखीय हैं।
(iii) शंकव अपभ्रष्ट है।
(iv) दीर्घवृत्त का समतल y = 5 से प्रतिच्छेद एक वृत्त है।
(v) शांकवज अकेंद्रीय है।
(vi) रेखा y = x परवलय की स्पर्श रेखा है।
(vii) समीकरण एक परवलज को निरूपित करता है।
(viii) किसी रेखा-खण्ड का उसकी लंब रेखा पर प्रक्षेप उस रेखा-खण्ड की लंबाई के बराबर होता है।
(ix) रेखाएं और
परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(x) बेलन का समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है।
Ques 26.
शांकव को अनुरेखित कीजिए।
Ques 27.
सिद्ध कि दो समकोणीय अतिपरवलयों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से अंतिम वाला शंकव भी समकोणीय अतिपरवल होता है।
Ques 28.
दिखाइए कि रेखा x = y शांकव को स्पर्श करेगी, यदि
हो।
Ques 29.
मान लीजिए P बिंदुओं A(a + b, b) और B(ab, a + b) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का मध्य-बिंदु है। P और Q (b) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता निकालिए। a और b पर किन प्रतिबंधों के अधीन यह रेखा -अक्ष के समांतर होगी?
Ques 30.
(i) दिखाइए कि बिंदुओं (2,3) और (-4,7) से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करता है।
Ques 31.
(ii) सिद्ध कीजिए कि (x1,y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण y को के रूप में लिखा जा सकता है।
Ques 32.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, नाभियां, केंद्र और नियताएं ज्ञात कीजिए। इसका स्थूल चित्र भी बनाइए।
Ques 33.
सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नामिलंव की लंबाई की चार गुना होती है।
Ques 34.
बिंदु (1,3,4) से गुजरने वाली तथा बिंदुओं (-4,5,3) और (8,9,7) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 35.
समतलों की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल
पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 36.
मूलबिंदु की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (2, 1, 8 , 1, 0, 2) और (-3,4,6) से गुजरता है।
Ques 37.
दिखाइए कि समतल गोले
का स्पर्श तल है।
Ques 38.
समतल को (3,-1,-1) पर स्पर्श करने वाले तथा गोले
को लांबिकतः प्रतिच्छेद करने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 39.
शंकु तथा समतल
की प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Ques 40.
उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका आधार है।
Ques 41.
दिखाइए कि शंकु के स्पर्श तों पर मूलबिंदु से डाले गए लंब शंकु
Ques 42.
निर्देशांक अक्षों की दिशाओं को परिवर्तित किए बिना मूलबिंदु को (1,2,0) पर स्थानांतरित करके समीकरण को रूपांतरित कीजिए। यह नया समीकरण क्या निरुपित करता है? इसका स्थूल आरेख बनाइए।
Ques 43.
दिखाइए कि शांकवज केंद्रीय है। अतः इसका केंद्र निकालिए।
Ques 44.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित शांकवों में से कौनसे शांकवज केंद्रीय हैं और कौनसे अकेंद्रीय हैं। यह भी पता कीजिए कि जो केंद्रीय शांकवज हैं उनमें से किनके केंद्र मूलबिंदु पर है।
(i)
(ii)
(iii)
Ques 45.
समीकरण को रूपांतरित कीजिए, यदि मूलबिंदु को स्थिर रखा 2 जाए और अक्षों को इस प्रकार घुमाया जाए कि नए अक्षों के दिक-अनुपात 1,-3,0; 3, 1, 0, 0, 0,1 हो।
Ques 46.
बिंदुओं (1,-1,6) और (4,3,2) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का रेखा प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Ques 47.
शांकवज को पहचानिए तथा आरेखित कीजिए। समतलों y = 0 और z = 0 द्वारा इसके परिच्छेदों का वर्णन कीजिए।
Ques 48.
बिंदु (2,-4,13) पर शांकवज के स्पर्श तल का समीकरण ज्ञात कीजिए। स्पर्श तल को ज्यामितीय रूप से दर्शाइए।
Ques 49.
Check whether the following statements are true or false. Justify your answer with a short explanation or a counter example.
(i) The numbers are the direction cosines of a line.
(ii) The points (1, 2), (7, 6) and (4, 4) are collinear.
(iii) The conic 12x² + 12xy + 3y² + 2x + y = 0 is degenerate.
(iv) Intersection of the ellipsoid x2 /4+ y2 /25+ z2 /4 = 1 and the plane y = 5 is a circle.
(v) The conicoid 3x² + y² + 2xy+x-y-z+1=0 is non-central.
(vi) The line y = x is a tangent to the parabola y² = cx, c > 0.
(vii) The equation 2x² + y + z + 1 = 0 represents a paraboloid.
(viii) Projection of a line segment on a line perpendicular to it is the length of the line segment.
(ix) The lines x =- y, z = 2 and x = y, z = 0 intersect each other.
(x) Every planar section of a cylinder is a circle.
Ques 50.
Trace the conic x² 2xy + y² 3x + 2y + 3 = 0.
Ques 51.
Prove that the conic passing through the points of intersection of two rectangular hyperbolas is also a rectangular hyperbola.
Ques 52.
Show that the line x = y touches the conic ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, if f + g = 0.
Ques 53.
Let P be the midpoint of the line segment joining the points A(a + b, b) and B(a - b, a + b). Find the slope of the line passing through P and Q (b,- a/2). Under what conditions on a and b, this line is parallel to the y-axis?
Ques 54.
Show that represents the equation of a line passing 1-4 7 1 through (2, 3) and (-4, 7).
Ques 55.
Prove that the equation of a line through (x1, y1) and (x2, y2) can be expressed in the form
Ques 56.
Find the eccentricity, foci, centre and directrices of the ellipse . Also 4 give a rough sketch of it.
Ques 57.
Prove that the length of the chord of a parabola which passes through the focus and which is inclined at 30° to the axis of the parabola is four times the length of the latus rectum.
Ques 58.
Find the equations of the line through (1,3,4) and parallel to the line joining the points (-4, 5, 3) and (8, 9, 7).
Ques 59.
Find the equation of the plane which passes through the line of intersection of the planes 3x + 4y - 5z = 9 and 2x+6y+6z = 7 and which is perpendicular to the plane 3x + 2y5z + 6 = 0.
Ques 60.
Find the distance of the origin from the plane which passes through (2, 1, 8), (1, 0, 2) and (-3, 4, 6).
Ques 61.
Show that the plane 2x + y + 2z = 0 is a tangent plane to the sphere x² + y² + z2-2x+2y-2z + 2 = 0.
Ques 62.
Find the equation of the sphere touching the plane 8x + 5y + 3z + 1 = 0 at (3,-1,-1) and cutting the sphere x² + y2 + z²-2x+y-z-6=0 orthogonally.
Ques 63.
Find the angle between the lines of intersection of the cone 4x2 + y² + 4z² + 4yz + 2zx = 0 and the plane x + 2y + 3z = 0.
Ques 64.
Find the equation of the cylinder with base x² + y² + z²-3x6z + 9 = 0, x - 2y+2z-6 = 0.
Ques 65.
Show that the perpendiculars drawn from the origin to tangent planes to the cone x2 y2 + 5z² + 4xy = 0 lie on the cone x2 y2 + z² + 4xy = 0.
Ques 66.
Transform the equation x² + 2y² 6z2 - 2x - 8y+3 = 0 by shifting the origin to (1, 2, 0) without changing the directions of the coordinate axes. What object does this new equation represent? Give a rough sketch of it.
Ques 67.
Show that the conicoid 2x² + 2y² + xyyz + zx + 2xy + 5z + 1 = 0 is central. Hence find its centre.
Ques 68.
Examine which of the following conicoids are central and which are non-central. Also determine which of the central conicoids have centre at the origin.
(i) x² + y² + z² + 4x + 3y – z = 0
(ii) 2x2-y2z2 + xy + yz - zx = 1
(iii) x2 + y2 - z2 -2xy -3yz - 6zx + x - 2y + 5z + 4 = 0
Ques 69.
Find the transformation of the equation 12x² - 2y2 + z² = 2xy if the origin is kept fixed and the axes are rotated in such a way that the direction ratios of the new axes are 1, -3, 0; 3, 1, 0; 0, 0, 1.
Ques 70.
Find the projection of the line segment joining the points (1,-1, 6) and (4, 3, 2) on the line x-4/ 3 = -y = z/5.
Ques 71.
Identify and trace the conicoid y² + 3z2 = x. Describe its sections by the planes y = 0 and z = 0.
Ques 72.
Find the equation of tangent plane to the conicoid x² + 3y² = 4z at (2, -4, 13). Represent the tangent plane geometrically.
Ques 73.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि लघु व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए।
(i) संख्याएँ एक रेखा की दिक्कोज्याएं हैं।
(ii) बिंदु (1, 2), (7,6) और (4,4) संरेखीय हैं।
(iii) शंकव अपभ्रष्ट है।
(iv) दीर्घवृत्त का समतल y = 5 से प्रतिच्छेद एक वृत्त है।
(v) शांकवज अकेंद्रीय है।
(vi) रेखा y = x परवलय की स्पर्श रेखा है।
(vii) समीकरण एक परवलज को निरूपित करता है।
(viii) किसी रेखा-खण्ड का उसकी लंब रेखा पर प्रक्षेप उस रेखा-खण्ड की लंबाई के बराबर होता है।
(ix) रेखाएं और
परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(x) बेलन का समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है।
Ques 74.
शांकव को अनुरेखित कीजिए।
Ques 75.
सिद्ध कि दो समकोणीय अतिपरवलयों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से अंतिम वाला शंकव भी समकोणीय अतिपरवल होता है।
Ques 76.
दिखाइए कि रेखा x = y शांकव को स्पर्श करेगी, यदि
हो।
Ques 77.
मान लीजिए P बिंदुओं A(a + b, b) और B(ab, a + b) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का मध्य-बिंदु है। P और Q (b) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता निकालिए। a और b पर किन प्रतिबंधों के अधीन यह रेखा -अक्ष के समांतर होगी?
Ques 78.
(i) दिखाइए कि बिंदुओं (2,3) और (-4,7) से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करता है।
Ques 79.
(ii) सिद्ध कीजिए कि (x1,y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण y को के रूप में लिखा जा सकता है।
Ques 80.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, नाभियां, केंद्र और नियताएं ज्ञात कीजिए। इसका स्थूल चित्र भी बनाइए।
Ques 81.
सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नामिलंव की लंबाई की चार गुना होती है।
Ques 82.
बिंदु (1,3,4) से गुजरने वाली तथा बिंदुओं (-4,5,3) और (8,9,7) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 83.
समतलों की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल
पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 84.
मूलबिंदु की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (2, 1, 8 , 1, 0, 2) और (-3,4,6) से गुजरता है।
Ques 85.
दिखाइए कि समतल गोले
का स्पर्श तल है।
Ques 86.
समतल को (3,-1,-1) पर स्पर्श करने वाले तथा गोले
को लांबिकतः प्रतिच्छेद करने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 87.
शंकु तथा समतल
की प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Ques 88.
उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका आधार है।
Ques 89.
दिखाइए कि शंकु के स्पर्श तों पर मूलबिंदु से डाले गए लंब शंकु
Ques 90.
निर्देशांक अक्षों की दिशाओं को परिवर्तित किए बिना मूलबिंदु को (1,2,0) पर स्थानांतरित करके समीकरण को रूपांतरित कीजिए। यह नया समीकरण क्या निरुपित करता है? इसका स्थूल आरेख बनाइए।
Ques 91.
दिखाइए कि शांकवज केंद्रीय है। अतः इसका केंद्र निकालिए।
Ques 92.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित शांकवों में से कौनसे शांकवज केंद्रीय हैं और कौनसे अकेंद्रीय हैं। यह भी पता कीजिए कि जो केंद्रीय शांकवज हैं उनमें से किनके केंद्र मूलबिंदु पर है।
(i)
(ii)
(iii)
Ques 93.
समीकरण को रूपांतरित कीजिए, यदि मूलबिंदु को स्थिर रखा 2 जाए और अक्षों को इस प्रकार घुमाया जाए कि नए अक्षों के दिक-अनुपात 1,-3,0; 3, 1, 0, 0, 0,1 हो।
Ques 94.
बिंदुओं (1,-1,6) और (4,3,2) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का रेखा प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Ques 95.
शांकवज को पहचानिए तथा आरेखित कीजिए। समतलों y = 0 और z = 0 द्वारा इसके परिच्छेदों का वर्णन कीजिए।
Ques 96.
बिंदु (2,-4,13) पर शांकवज के स्पर्श तल का समीकरण ज्ञात कीजिए। स्पर्श तल को ज्यामितीय रूप से दर्शाइए।
Ques 97.
Check whether the following statements are true or false. Justify your answer with a short explanation or a counter example.
(i) The numbers are the direction cosines of a line.
(ii) The points (1, 2), (7, 6) and (4, 4) are collinear.
(iii) The conic 12x² + 12xy + 3y² + 2x + y = 0 is degenerate.
(iv) Intersection of the ellipsoid x2 /4+ y2 /25+ z2 /4 = 1 and the plane y = 5 is a circle.
(v) The conicoid 3x² + y² + 2xy+x-y-z+1=0 is non-central.
(vi) The line y = x is a tangent to the parabola y² = cx, c > 0.
(vii) The equation 2x² + y + z + 1 = 0 represents a paraboloid.
(viii) Projection of a line segment on a line perpendicular to it is the length of the line segment.
(ix) The lines x =- y, z = 2 and x = y, z = 0 intersect each other.
(x) Every planar section of a cylinder is a circle.
Ques 98.
Trace the conic x² 2xy + y² 3x + 2y + 3 = 0.
Ques 99.
Prove that the conic passing through the points of intersection of two rectangular hyperbolas is also a rectangular hyperbola.
Ques 100.
Show that the line x = y touches the conic ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, if f + g = 0.
Ques 101.
Let P be the midpoint of the line segment joining the points A(a + b, b) and B(a - b, a + b). Find the slope of the line passing through P and Q (b,- a/2). Under what conditions on a and b, this line is parallel to the y-axis?
Ques 102.
Show that represents the equation of a line passing 1-4 7 1 through (2, 3) and (-4, 7).
Ques 103.
Prove that the equation of a line through (x1, y1) and (x2, y2) can be expressed in the form
Ques 104.
Find the eccentricity, foci, centre and directrices of the ellipse . Also 4 give a rough sketch of it.
Ques 105.
Prove that the length of the chord of a parabola which passes through the focus and which is inclined at 30° to the axis of the parabola is four times the length of the latus rectum.
Ques 106.
Find the equations of the line through (1,3,4) and parallel to the line joining the points (-4, 5, 3) and (8, 9, 7).
Ques 107.
Find the equation of the plane which passes through the line of intersection of the planes 3x + 4y - 5z = 9 and 2x+6y+6z = 7 and which is perpendicular to the plane 3x + 2y5z + 6 = 0.
Ques 108.
Find the distance of the origin from the plane which passes through (2, 1, 8), (1, 0, 2) and (-3, 4, 6).
Ques 109.
Show that the plane 2x + y + 2z = 0 is a tangent plane to the sphere x² + y² + z2-2x+2y-2z + 2 = 0.
Ques 110.
Find the equation of the sphere touching the plane 8x + 5y + 3z + 1 = 0 at (3,-1,-1) and cutting the sphere x² + y2 + z²-2x+y-z-6=0 orthogonally.
Ques 111.
Find the angle between the lines of intersection of the cone 4x2 + y² + 4z² + 4yz + 2zx = 0 and the plane x + 2y + 3z = 0.
Ques 112.
Find the equation of the cylinder with base x² + y² + z²-3x6z + 9 = 0, x - 2y+2z-6 = 0.
Ques 113.
Show that the perpendiculars drawn from the origin to tangent planes to the cone x2 y2 + 5z² + 4xy = 0 lie on the cone x2 y2 + z² + 4xy = 0.
Ques 114.
Transform the equation x² + 2y² 6z2 - 2x - 8y+3 = 0 by shifting the origin to (1, 2, 0) without changing the directions of the coordinate axes. What object does this new equation represent? Give a rough sketch of it.
Ques 115.
Show that the conicoid 2x² + 2y² + xyyz + zx + 2xy + 5z + 1 = 0 is central. Hence find its centre.
Ques 116.
Examine which of the following conicoids are central and which are non-central. Also determine which of the central conicoids have centre at the origin.
(i) x² + y² + z² + 4x + 3y – z = 0
(ii) 2x2-y2z2 + xy + yz - zx = 1
(iii) x2 + y2 - z2 -2xy -3yz - 6zx + x - 2y + 5z + 4 = 0
Ques 117.
Find the transformation of the equation 12x² - 2y2 + z² = 2xy if the origin is kept fixed and the axes are rotated in such a way that the direction ratios of the new axes are 1, -3, 0; 3, 1, 0; 0, 0, 1.
Ques 118.
Find the projection of the line segment joining the points (1,-1, 6) and (4, 3, 2) on the line x-4/ 3 = -y = z/5.
Ques 119.
Identify and trace the conicoid y² + 3z2 = x. Describe its sections by the planes y = 0 and z = 0.
Ques 120.
Find the equation of tangent plane to the conicoid x² + 3y² = 4z at (2, -4, 13). Represent the tangent plane geometrically.
Ques 121.
Check whether the following statements are true or false. Justify your answer with a short explanation or a counter example.
(i) The numbers are the direction cosines of a line.
(ii) The points (1, 2), (7, 6) and (4, 4) are collinear.
(iii) The conic 12x² + 12xy + 3y² + 2x + y = 0 is degenerate.
(iv) Intersection of the ellipsoid x2 /4+ y2 /25+ z2 /4 = 1 and the plane y = 5 is a circle.
(v) The conicoid 3x² + y² + 2xy+x-y-z+1=0 is non-central.
(vi) The line y = x is a tangent to the parabola y² = cx, c > 0.
(vii) The equation 2x² + y + z + 1 = 0 represents a paraboloid.
(viii) Projection of a line segment on a line perpendicular to it is the length of the line segment.
(ix) The lines x =- y, z = 2 and x = y, z = 0 intersect each other.
(x) Every planar section of a cylinder is a circle.
Ques 122.
Trace the conic x² 2xy + y² 3x + 2y + 3 = 0.
Ques 123.
Prove that the conic passing through the points of intersection of two rectangular hyperbolas is also a rectangular hyperbola.
Ques 124.
Show that the line x = y touches the conic ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, if f + g = 0.
Ques 125.
Let P be the midpoint of the line segment joining the points A(a + b, b) and B(a - b, a + b). Find the slope of the line passing through P and Q (b,- a/2). Under what conditions on a and b, this line is parallel to the y-axis?
Ques 126.
Show that represents the equation of a line passing 1-4 7 1 through (2, 3) and (-4, 7).
Ques 127.
Prove that the equation of a line through (x1, y1) and (x2, y2) can be expressed in the form
Ques 128.
Find the eccentricity, foci, centre and directrices of the ellipse . Also 4 give a rough sketch of it.
Ques 129.
Prove that the length of the chord of a parabola which passes through the focus and which is inclined at 30° to the axis of the parabola is four times the length of the latus rectum.
Ques 130.
Find the equations of the line through (1,3,4) and parallel to the line joining the points (-4, 5, 3) and (8, 9, 7).
Ques 131.
Find the equation of the plane which passes through the line of intersection of the planes 3x + 4y - 5z = 9 and 2x+6y+6z = 7 and which is perpendicular to the plane 3x + 2y5z + 6 = 0.
Ques 132.
Find the distance of the origin from the plane which passes through (2, 1, 8), (1, 0, 2) and (-3, 4, 6).
Ques 133.
Show that the plane 2x + y + 2z = 0 is a tangent plane to the sphere x² + y² + z2-2x+2y-2z + 2 = 0.
Ques 134.
Find the equation of the sphere touching the plane 8x + 5y + 3z + 1 = 0 at (3,-1,-1) and cutting the sphere x² + y2 + z²-2x+y-z-6=0 orthogonally.
Ques 135.
Find the angle between the lines of intersection of the cone 4x2 + y² + 4z² + 4yz + 2zx = 0 and the plane x + 2y + 3z = 0.
Ques 136.
Find the equation of the cylinder with base x² + y² + z²-3x6z + 9 = 0, x - 2y+2z-6 = 0.
Ques 137.
Show that the perpendiculars drawn from the origin to tangent planes to the cone x2 y2 + 5z² + 4xy = 0 lie on the cone x2 y2 + z² + 4xy = 0.
Ques 138.
Transform the equation x² + 2y² 6z2 - 2x - 8y+3 = 0 by shifting the origin to (1, 2, 0) without changing the directions of the coordinate axes. What object does this new equation represent? Give a rough sketch of it.
Ques 139.
Show that the conicoid 2x² + 2y² + xyyz + zx + 2xy + 5z + 1 = 0 is central. Hence find its centre.
Ques 140.
Examine which of the following conicoids are central and which are non-central. Also determine which of the central conicoids have centre at the origin.
(i) x² + y² + z² + 4x + 3y – z = 0
(ii) 2x2-y2z2 + xy + yz - zx = 1
(iii) x2 + y2 - z2 -2xy -3yz - 6zx + x - 2y + 5z + 4 = 0
Ques 141.
Find the transformation of the equation 12x² - 2y2 + z² = 2xy if the origin is kept fixed and the axes are rotated in such a way that the direction ratios of the new axes are 1, -3, 0; 3, 1, 0; 0, 0, 1.
Ques 142.
Find the projection of the line segment joining the points (1,-1, 6) and (4, 3, 2) on the line x-4/ 3 = -y = z/5.
Ques 143.
Identify and trace the conicoid y² + 3z2 = x. Describe its sections by the planes y = 0 and z = 0.
Ques 144.
Find the equation of tangent plane to the conicoid x² + 3y² = 4z at (2, -4, 13). Represent the tangent plane geometrically.
Ques 145.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि लघु व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए।
(i) संख्याएँ एक रेखा की दिक्कोज्याएं हैं।
(ii) बिंदु (1, 2), (7,6) और (4,4) संरेखीय हैं।
(iii) शंकव अपभ्रष्ट है।
(iv) दीर्घवृत्त का समतल y = 5 से प्रतिच्छेद एक वृत्त है।
(v) शांकवज अकेंद्रीय है।
(vi) रेखा y = x परवलय की स्पर्श रेखा है।
(vii) समीकरण एक परवलज को निरूपित करता है।
(viii) किसी रेखा-खण्ड का उसकी लंब रेखा पर प्रक्षेप उस रेखा-खण्ड की लंबाई के बराबर होता है।
(ix) रेखाएं और
परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(x) बेलन का समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है।
Ques 146.
शांकव को अनुरेखित कीजिए।
Ques 147.
सिद्ध कि दो समकोणीय अतिपरवलयों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से अंतिम वाला शंकव भी समकोणीय अतिपरवल होता है।
Ques 148.
दिखाइए कि रेखा x = y शांकव को स्पर्श करेगी, यदि
हो।
Ques 149.
मान लीजिए P बिंदुओं A(a + b, b) और B(ab, a + b) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का मध्य-बिंदु है। P और Q (b) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता निकालिए। a और b पर किन प्रतिबंधों के अधीन यह रेखा -अक्ष के समांतर होगी?
Ques 150.
(i) दिखाइए कि बिंदुओं (2,3) और (-4,7) से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करता है।
Ques 151.
(ii) सिद्ध कीजिए कि (x1,y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण y को के रूप में लिखा जा सकता है।
Ques 152.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, नाभियां, केंद्र और नियताएं ज्ञात कीजिए। इसका स्थूल चित्र भी बनाइए।
Ques 153.
सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नामिलंव की लंबाई की चार गुना होती है।
Ques 154.
बिंदु (1,3,4) से गुजरने वाली तथा बिंदुओं (-4,5,3) और (8,9,7) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 155.
समतलों की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल
पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 156.
मूलबिंदु की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (2, 1, 8 , 1, 0, 2) और (-3,4,6) से गुजरता है।
Ques 157.
दिखाइए कि समतल गोले
का स्पर्श तल है।
Ques 158.
समतल को (3,-1,-1) पर स्पर्श करने वाले तथा गोले
को लांबिकतः प्रतिच्छेद करने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 159.
शंकु तथा समतल
की प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Ques 160.
उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका आधार है।
Ques 161.
दिखाइए कि शंकु के स्पर्श तों पर मूलबिंदु से डाले गए लंब शंकु
Ques 162.
निर्देशांक अक्षों की दिशाओं को परिवर्तित किए बिना मूलबिंदु को (1,2,0) पर स्थानांतरित करके समीकरण को रूपांतरित कीजिए। यह नया समीकरण क्या निरुपित करता है? इसका स्थूल आरेख बनाइए।
Ques 163.
दिखाइए कि शांकवज केंद्रीय है। अतः इसका केंद्र निकालिए।
Ques 164.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित शांकवों में से कौनसे शांकवज केंद्रीय हैं और कौनसे अकेंद्रीय हैं। यह भी पता कीजिए कि जो केंद्रीय शांकवज हैं उनमें से किनके केंद्र मूलबिंदु पर है।
(i)
(ii)
(iii)
Ques 165.
समीकरण को रूपांतरित कीजिए, यदि मूलबिंदु को स्थिर रखा 2 जाए और अक्षों को इस प्रकार घुमाया जाए कि नए अक्षों के दिक-अनुपात 1,-3,0; 3, 1, 0, 0, 0,1 हो।
Ques 166.
बिंदुओं (1,-1,6) और (4,3,2) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का रेखा प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Ques 167.
शांकवज को पहचानिए तथा आरेखित कीजिए। समतलों y = 0 और z = 0 द्वारा इसके परिच्छेदों का वर्णन कीजिए।
Ques 168.
बिंदु (2,-4,13) पर शांकवज के स्पर्श तल का समीकरण ज्ञात कीजिए। स्पर्श तल को ज्यामितीय रूप से दर्शाइए।
Ques 169.
Check whether the following statements are true or false. Justify your answer with a short explanation or a counter example.
(i) The numbers are the direction cosines of a line.
(ii) The points (1, 2), (7, 6) and (4, 4) are collinear.
(iii) The conic 12x² + 12xy + 3y² + 2x + y = 0 is degenerate.
(iv) Intersection of the ellipsoid x2 /4+ y2 /25+ z2 /4 = 1 and the plane y = 5 is a circle.
(v) The conicoid 3x² + y² + 2xy+x-y-z+1=0 is non-central.
(vi) The line y = x is a tangent to the parabola y² = cx, c > 0.
(vii) The equation 2x² + y + z + 1 = 0 represents a paraboloid.
(viii) Projection of a line segment on a line perpendicular to it is the length of the line segment.
(ix) The lines x =- y, z = 2 and x = y, z = 0 intersect each other.
(x) Every planar section of a cylinder is a circle.
Ques 170.
Trace the conic x² 2xy + y² 3x + 2y + 3 = 0.
Ques 171.
Prove that the conic passing through the points of intersection of two rectangular hyperbolas is also a rectangular hyperbola.
Ques 172.
Show that the line x = y touches the conic ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, if f + g = 0.
Ques 173.
Let P be the midpoint of the line segment joining the points A(a + b, b) and B(a - b, a + b). Find the slope of the line passing through P and Q (b,- a/2). Under what conditions on a and b, this line is parallel to the y-axis?
Ques 174.
Show that represents the equation of a line passing 1-4 7 1 through (2, 3) and (-4, 7).
Ques 175.
Prove that the equation of a line through (x1, y1) and (x2, y2) can be expressed in the form
Ques 176.
Find the eccentricity, foci, centre and directrices of the ellipse . Also 4 give a rough sketch of it.
Ques 177.
Prove that the length of the chord of a parabola which passes through the focus and which is inclined at 30° to the axis of the parabola is four times the length of the latus rectum.
Ques 178.
Find the equations of the line through (1,3,4) and parallel to the line joining the points (-4, 5, 3) and (8, 9, 7).
Ques 179.
Find the equation of the plane which passes through the line of intersection of the planes 3x + 4y - 5z = 9 and 2x+6y+6z = 7 and which is perpendicular to the plane 3x + 2y5z + 6 = 0.
Ques 180.
Find the distance of the origin from the plane which passes through (2, 1, 8), (1, 0, 2) and (-3, 4, 6).
Ques 181.
Show that the plane 2x + y + 2z = 0 is a tangent plane to the sphere x² + y² + z2-2x+2y-2z + 2 = 0.
Ques 182.
Find the equation of the sphere touching the plane 8x + 5y + 3z + 1 = 0 at (3,-1,-1) and cutting the sphere x² + y2 + z²-2x+y-z-6=0 orthogonally.
Ques 183.
Find the angle between the lines of intersection of the cone 4x2 + y² + 4z² + 4yz + 2zx = 0 and the plane x + 2y + 3z = 0.
Ques 184.
Find the equation of the cylinder with base x² + y² + z²-3x6z + 9 = 0, x - 2y+2z-6 = 0.
Ques 185.
Show that the perpendiculars drawn from the origin to tangent planes to the cone x2 y2 + 5z² + 4xy = 0 lie on the cone x2 y2 + z² + 4xy = 0.
Ques 186.
Transform the equation x² + 2y² 6z2 - 2x - 8y+3 = 0 by shifting the origin to (1, 2, 0) without changing the directions of the coordinate axes. What object does this new equation represent? Give a rough sketch of it.
Ques 187.
Show that the conicoid 2x² + 2y² + xyyz + zx + 2xy + 5z + 1 = 0 is central. Hence find its centre.
Ques 188.
Examine which of the following conicoids are central and which are non-central. Also determine which of the central conicoids have centre at the origin.
(i) x² + y² + z² + 4x + 3y – z = 0
(ii) 2x2-y2z2 + xy + yz - zx = 1
(iii) x2 + y2 - z2 -2xy -3yz - 6zx + x - 2y + 5z + 4 = 0
Ques 189.
Find the transformation of the equation 12x² - 2y2 + z² = 2xy if the origin is kept fixed and the axes are rotated in such a way that the direction ratios of the new axes are 1, -3, 0; 3, 1, 0; 0, 0, 1.
Ques 190.
Find the projection of the line segment joining the points (1,-1, 6) and (4, 3, 2) on the line x-4/ 3 = -y = z/5.
Ques 191.
Identify and trace the conicoid y² + 3z2 = x. Describe its sections by the planes y = 0 and z = 0.
Ques 192.
Find the equation of tangent plane to the conicoid x² + 3y² = 4z at (2, -4, 13). Represent the tangent plane geometrically.
Ques 193.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि लघु व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए।
(i) संख्याएँ एक रेखा की दिक्कोज्याएं हैं।
(ii) बिंदु (1, 2), (7,6) और (4,4) संरेखीय हैं।
(iii) शंकव अपभ्रष्ट है।
(iv) दीर्घवृत्त का समतल y = 5 से प्रतिच्छेद एक वृत्त है।
(v) शांकवज अकेंद्रीय है।
(vi) रेखा y = x परवलय की स्पर्श रेखा है।
(vii) समीकरण एक परवलज को निरूपित करता है।
(viii) किसी रेखा-खण्ड का उसकी लंब रेखा पर प्रक्षेप उस रेखा-खण्ड की लंबाई के बराबर होता है।
(ix) रेखाएं और
परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(x) बेलन का समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है।
Ques 194.
शांकव को अनुरेखित कीजिए।
Ques 195.
सिद्ध कि दो समकोणीय अतिपरवलयों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से अंतिम वाला शंकव भी समकोणीय अतिपरवल होता है।
Ques 196.
दिखाइए कि रेखा x = y शांकव को स्पर्श करेगी, यदि
हो।
Ques 197.
मान लीजिए P बिंदुओं A(a + b, b) और B(ab, a + b) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का मध्य-बिंदु है। P और Q (b) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता निकालिए। a और b पर किन प्रतिबंधों के अधीन यह रेखा -अक्ष के समांतर होगी?
Ques 198.
(i) दिखाइए कि बिंदुओं (2,3) और (-4,7) से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करता है।
Ques 199.
(ii) सिद्ध कीजिए कि (x1,y1) और (x2, y2) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण y को के रूप में लिखा जा सकता है।
Ques 200.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, नाभियां, केंद्र और नियताएं ज्ञात कीजिए। इसका स्थूल चित्र भी बनाइए।
Ques 201.
सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नामिलंव की लंबाई की चार गुना होती है।
Ques 202.
बिंदु (1,3,4) से गुजरने वाली तथा बिंदुओं (-4,5,3) और (8,9,7) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 203.
समतलों की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल
पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 204.
मूलबिंदु की उस समतल से दूरी ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (2, 1, 8 , 1, 0, 2) और (-3,4,6) से गुजरता है।
Ques 205.
दिखाइए कि समतल गोले
का स्पर्श तल है।
Ques 206.
समतल को (3,-1,-1) पर स्पर्श करने वाले तथा गोले
को लांबिकतः प्रतिच्छेद करने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए।
Ques 207.
शंकु तथा समतल
की प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Ques 208.
उस बेलन का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका आधार है।
Ques 209.
दिखाइए कि शंकु के स्पर्श तों पर मूलबिंदु से डाले गए लंब शंकु
Ques 210.
निर्देशांक अक्षों की दिशाओं को परिवर्तित किए बिना मूलबिंदु को (1,2,0) पर स्थानांतरित करके समीकरण को रूपांतरित कीजिए। यह नया समीकरण क्या निरुपित करता है? इसका स्थूल आरेख बनाइए।
Ques 211.
दिखाइए कि शांकवज केंद्रीय है। अतः इसका केंद्र निकालिए।
Ques 212.
जांच कीजिए कि निम्नलिखित शांकवों में से कौनसे शांकवज केंद्रीय हैं और कौनसे अकेंद्रीय हैं। यह भी पता कीजिए कि जो केंद्रीय शांकवज हैं उनमें से किनके केंद्र मूलबिंदु पर है।
(i)
(ii)
(iii)
Ques 213.
समीकरण को रूपांतरित कीजिए, यदि मूलबिंदु को स्थिर रखा 2 जाए और अक्षों को इस प्रकार घुमाया जाए कि नए अक्षों के दिक-अनुपात 1,-3,0; 3, 1, 0, 0, 0,1 हो।
Ques 214.
बिंदुओं (1,-1,6) और (4,3,2) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का रेखा प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
Ques 215.
शांकवज को पहचानिए तथा आरेखित कीजिए। समतलों y = 0 और z = 0 द्वारा इसके परिच्छेदों का वर्णन कीजिए।
Ques 216.
बिंदु (2,-4,13) पर शांकवज के स्पर्श तल का समीकरण ज्ञात कीजिए। स्पर्श तल को ज्यामितीय रूप से दर्शाइए।
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| Course Name | Bachelor in Science |
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