IGNOU MTE 14 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?

Ques 2.

लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति

Ques 3.

Ques 4.

वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?

Ques 5.

अपने वर्गीकरण की पुष्टि करते हुए निम्नलिखित को रैखिक और अरैखिक निदर्शों में वर्गीकृत कीजिए

I) लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति

III) किसी समय पर अचर त्वरण और प्रारंभिक वेग यू से गतिमान एक कण के वेग का समीकरण

Ques 6.

एक ट्यूमर पर विकिरण (रेडिएशन) उपचार का प्रभाव जबकि उपचार थोड़े समय के लिए परंतु नियमित अंतराल पर किया गया हो।

Ques 7.

 एक ट्यूमर पर रसायन औषधि के प्रभाव जबकि इन्हें एक दी हुई अवधि तक रोगी को दिया गया हो।

Ques 8.

द्रव्यमान M वाला एक कण केन्द्र से दूरी A  से विरामावस्था से प्रारंभ करके आकर्षण-केन्द्र की ओर  एक सरल रेखा में गतिमान होता है। केन्द्र से दूरी X पर इसका वेग   के अनुसार परिवर्तित करता है। बल-नियम ज्ञात कीजिए। 

Ques 9.

 यदि एक ग्रह अपनी कक्षा में, जिसे वृत्ताकार माना गया है, अचानक रूक जाता हो, तो दिखाइए कि वह उस कालावधि में सूर्य में गिर जाएगा जो कि ग्रह के परिक्रमण काल का गुना है। √2 8

Ques 10.

क) सरल आवर्त गति में गतिमान कण के वेग 8cm/sec और 6cm/sec होते हैं जबकि वह अपने गति-केन्द्र से क्रमशः 3cm और 4cm की दूरी पर होता है। गति का आवर्त काल और आयाम ज्ञात कीजिए।

Ques 11.

निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।
$
संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक बिन्दु की प्रकृति ज्ञात कीजिए। 
ग) लंबाई l वाली डोरी के एक छोर को एक नियत बिन्दु से और दूसरे छोर को द्रव्यमान m वाली एक छड़ी से जोड़ दिया गया है। यह छड़ी अचर वेग v से एक वृत्त में चक्कर काट रही है। विमीय विश्लेषण की सहायता से डोरी में लग रहे बल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

Ques 12.

 एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा है, जमीन से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे हेलीकाप्टर से नीचे गिरती है। वह गुरूत्व के प्रभाव के अधीन धरती की ओर गिरती है। यहां यह मान लीजिए कि गुरूत्व बल अचर है। यहां पर भी मान लीजिए कि वायु-प्रतिरोध से उत्पन्न बल पेराशूटिसट के वेग के आनुपातिक है। आनुपातिकता स्थिरांक  किग्रा/सेकेंड है, जबकि पेराशूट बंद है और  किग्रा/सेकेंड जबकि पेराशूट खुला होता है। यदि हेलीकाप्टर से गिरने के 1 मिनट बाद भी पेराशूट नहीं खुलता है तो बताइए कि कितने सेकेंड बाद वह धरती पर गिर जाएगी? 

Ques 13.

एक प्रक्षेप्य को दो अलग-अलग प्रक्षेप कोणों  और  पर एक अचर चाल v से इस तरह नियत कर दिया गया कि इससे समान परास प्राप्त हो। दिखाइए कि 

Ques 14.

जल निकाय में फाइटोप्लैंक्टन की एक विम संवृद्धि लीजिए। संवृद्धि की गतिकी का निर्धारण करने वाला निदर्श सूत्रित कीजिए, D इसका विसरण गुणांक है, r इसकी संवृद्धि दर है और R डूबने के कारण इसकी मृत्यु-दर है। यदि हम क्षेत्रफल  लें, और फाइटोप्लैंक्टन का प्रारंभिक सांद्रण  मान लें, तो किसी भी समय t पर  में फाइटोप्लैंक्टन का सांद्रण बंटन ज्ञात कीजिए।

Ques 15.

 एक दिए हुए वर्ष  में पैदा हुए व्यक्तियों का एक समूह लीजिए और मान लीजिए इस समूह में से t वर्ष बाद जीवित रहने वाले व्यक्तियों की संख्या n(t) है। मान लीजिए x(t) इस समूह के उन सदस्यों की संख्या है, जिन्हें t वर्ष बाद तक चेचक नहीं हुआ है और इसलिए वे अभी तक सुग्राह्य बने हुए हैं। मान लीजिए  वह दर है जिससे सुग्राह्य व्यक्तियों को चेचक होता है और  वह दर है जिससे चेचक से पीड़ित व्यक्तियों की मृत्यु हो जाती है। अंत में मान लीजिए कि चेचक के अतिरिक्त अन्य कारणों से व्यक्ति की मृत्यु होने की दर  है। यदि dx/dt और dn/dt क्रमशः वह दर हो जिससे चेचक होने के कारण तथा अन्य कारणों से मृत्यु होने पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या और पूरी जनसंख्या में कमी आती हो, तो
i) dx/dt और dn/dt के समीकरण लिखकर ऊपर की समस्या का सूत्रण करें।
ii)  लेकर यह दिखाइए कि z निम्नलिखित आदिमान समस्या को संतुष्ट करता है।
$
iii) किसी भी समय t पर z(t) का मान ज्ञात कीजिए।

iv) बर्नाली ने यह आकलित किया था कि  इन मानों की सहायता से 20 वर्ष की आयु वाले उन व्यक्तियों का समानुपात ज्ञात कीजिए जिन्हें चेचक नहीं हुआ था।

Ques 16.

एक एकाधिकारी कीमत ‘p’ प्रति इकाई निर्धारित करता है और मांग की गई राशि ‘q’ निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त है 
मान लीजिए रू० 9 की एक नियत लागत है और रू० 1 प्रति इकाई की उपांतिक लागत है।
i) एकाधिकारी का लाभ फलन लिखिए।
ii) अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘x’ ज्ञात कीजिए। अधिकतम लाभ भी ज्ञात कीजिए।
iii) एक कार्यक्षम प्रवेशी एकाधिकारी के व्यापार में प्रवेश करता है। उसे यह विश्वास है कि एकाधिकारी ‘x’ इकाइयों का उत्पाद करता रहेगा। इस कार्यक्षम प्रवेशी का लाभ फलन लिखिए।
iv) प्रवेशी के अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘z’ ज्ञात कीजिए।
v) प्रवेशी का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसे व्यापार में प्रवेश करना चाहिए या नहीं।
vi) प्रवेशी के व्यापार में प्रवेश करने के बाद एकाधिकारी द्वारा अर्जित किया गया लाभ ज्ञात कीजिए।

Ques 17.

) निम्नलिखित त्रिघात कुल लागत फलन  लीजिए। यहां यह मान लीजिए कि q की कीमत प्रति एकक 15 है। वह उत्पादन ज्ञात कीजिए जिस पर अधिकतम लाभ प्राप्त होता है।
ख) प्रमुखता लागू करके नीचे दिए गए भुगतान आव्यूह से A और B की इष्टतम युक्तियां ज्ञात कीजिए।

ग) मान लीजिए पिछला पूर्वानुमान 2090 था और पिछली अवधि में विशेष चर का वास्तविक मान 1985 था और इसका सबसे पुराना मान 1955 था। हाल ही में किए गए चार प्रेक्षणों पर आधारित गतिमान औसत तकनीक को लागू करके अगली अवधि के लिए किया गया नया पूर्वानुमान ज्ञात कीजिए। 

Ques 18.

क) साम्य बिंदुओं का पता लगाकर और प्रावस्था पथ आलेखित करके निम्नलिखित निकायों के प्रावस्था आरेखों की तुलना कीजिए :
i) 

ii)  (5)

Ques 19.

वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध  पर  के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
$
जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है,  संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।
i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए। 

Ques 20.

 दिए हुए प्रतिभूति समुच्चय में उनकी सभी निवेश सूचियां प्रदेश की परिसीमा पर या उसके अंदर स्थित है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।

सुसंगत प्रदेश में वह निवेश सूची ज्ञात कीजिए जिसका अधिकतम प्रतिफल हो। इस प्रदेश में वह निवेश सूची भी ज्ञात कीजिए जिसमें न्यूनतम जोखिम हो। 
ख) सुसंगत प्रदेश के दक्ष सीमांत को चित्रित करने की विधि की व्याख्या कीजिए। 
ग) यदि n प्रतिभूतियों की सभी निवेशसूचियां प्राप्त हो तो एक उत्तम निवेश सूची का चयन करने के लिए निवेशक को कौन-सा निकस अपनाना चाहिए। 

Ques 21.

 State two real-world problems where you think that mathematical modelling is the only approach to find the solution of the problem. Give 4 essentials for each of the problems. Why do you think that there is no other scientific alternative for the treatment of these problems. 
b) Classify the following into linear and non-linear models, justifying your classification.

i) Simple harmonic motion for small amplitude of oscillation.

ii) Population growth model given by

iii) Equation for velocity v of a particle at any time t, moving with a constant acceleration a, and initial velocity u.

iv) Equation describing dynamic stability of market equilibrium price given by

$

and p_t is the price in period t. 

Ques 22.

 Characterise the following as discrete or continuous giving reasons for your answers.

i) Effects of radiation treatment on a tumour when applied for short period of time but at regular intervals.

ii) Effects of chemotherapy drugs on a tumour when introduced into a patient for a given duration of time. 
b) A particle of mass m moves on a straight line towards the centre of attraction, starting from rest at a distance a from the centre. Its velocity at a distance x from the centre varies as . Find the law of force. 
c) If a planet was suddenly stopped in its orbit, supposed circular, show that it will fall into the sun in a time which is  times the period of the planet’s revolution. 

Ques 23.

 A particle moving in S.H.M has got the velocities  and  when it is at distance  and  respectively from the centre of its motion. Determine the period and the amplitude of motion. 
b) Consider the following system of equations

Find the nature of the critical point (0, 0) of the corresponding linear system. 
c) A string of length l is connected to a fixed point at one end and to a stick of mass m at the other. The stick is whirling in a circle at constant velocity v. Use dimensional analysis to find the equation of the force in the string. 

Ques 24.

A parachutist, whose weight (actually mass) is , drops from a helicopter  above the ground. She falls towards the earth under the influence of gravity. Assume that the gravitational force is constant. Assume that the force due to air resistance is proportional to the velocity of the parachutist. The proportionality constant is  when the parachute is closed, and is  when it is open. If the parachute does not open until  after the parachutist leaves the helicopter, after how many seconds will she hit the ground? 
b) A projectile is fixed with a constant speed v at two different angles of projection  and  such that it gives the same range. Show that 

Ques 25.

Consider a one-dimensional growth c(x, t) of phytoplankton in a water mass. Formulate the model describing the dynamics of growth taking into account the following: D, its diffusion coefficient, r its rate of growth, R its mortality rate due to sinking. Fixing the area of interest as  and the initial concentration of phytoplankton as , find the concentration distribution of phytoplankton in  at any time t. 
b) When an aeroplane ascends from take-off to an altitude of , by how much does the gravitational attraction acting on it decrease?

Ques 26.

 Consider the group of individuals born in a given year () and let n(t) be the number of these individuals surviving t year later. Let x(t) be the number of members of this group who have not had smallpox by year t and are therefore still susceptible. Let  be the rate at which susceptibles contract smallpox and let v be the rate at which people who contract smallpox die from the disease. Finally, let  be the death rate from all causes other than smallpox. If dx / dt and dn / dt are, respectively the rates at which the number of susceptibles and entire population decline due to contraction from smallpox and also due to death from all causes then
i) Formulate the above problem by writing equations for dx / dt and dn / dt.
ii) Taking , show that z satisfies the initial value problem

iii) Find z(t) at any time t.
iv) Bernoulli estimated that . Using these values, determine the proportion of 20 years old who have not had smallpox. 

Ques 27.

 A monopolist sets a price 'p' per unit and the quantity demanded 'q' is given by the following relation:

Let there be a fixed cost of Rs.9 and a marginal cost of Rs.1 per unit.
i) Write the profit function of monopolist.
ii) For maximum profit, find the number 'x' of units produced. Also find the maximum profit.
iii) A potential entrant enters into the business of the monopolist. He believes that the monopolist will go on making 'x' units. Write the profit function of the entrant.
iv) For maximum profit of entrant, find the number 'z' of units produced.
v) Find the maximum profit of the entrant. Explain whether he should enter into the business or not.

vi) Find the profit made by the monopolist after the entrant has entered into business. 

Ques 28.

Consider the cubic total cost function

Assume that the price of q is 15 per unit. Find the output which yields maximum profit. 
b) Apply dominance to find the optimum strategies of A and B from the pay-off matrix given below
 

c) Suppose that the previous forecast was 2090 and the actual value of the variable of interest for the period was 1985 and the oldest value of interest was 1955. Using the moving average technique based upon the most recent four observations find new forecast for the next period. 

Ques 29.

ompare the phase diagrams of the systems:

i) 

ii) 

by locating the equilibrium points and sketching the phase paths. 
b) Consider the epidemic model governed by the following equation

with initial condition  at . Here x(t) is the number of susceptibles at time t,  is the contact rate. The population is assumed to be closed and homogeneously mixing. Let the contact rate be 0.002 and the number of susceptibles be 5000 initially

i) Find the density of the population when the rate of appearance of new cases is maximum.

ii) Find the time (in weeks) at which the rate of appearance of new cases is maximum.

iii) Obtain the maximum rate of appearance of new cases. 

Ques 30.

 For a given set of securities, all their portfolios lie on or within the boundary of the region shown in Fig.1.

In the feasible region, find a portfolio which has maximum return. Also, find a portfolio in this region which has minimum risk.

b) Explain the method of delineating the efficient frontier of a feasible region.

c) Given all the portfolios of n securities what criterion would an investor use to select a good portfolio?

Ques 31.

वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?

Ques 32.

लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति

Ques 33.

Ques 34.

वास्तविक जगत से जुड़ी ऐसी दो समस्याएं बताइए जिनके बारे में आप यह समझते हैं कि केवल गणितीय निदर्शन से ही इन समस्याओं का हल प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक समस्या के लिए चार अनिवार्य तथ्य भी बताइए। आप ऐसा क्यों समझते हैं कि इन समस्याओं के उपचार के लिए कोई अन्य वैज्ञानिक विकल्प नहीं है?

Ques 35.

अपने वर्गीकरण की पुष्टि करते हुए निम्नलिखित को रैखिक और अरैखिक निदर्शों में वर्गीकृत कीजिए

I) लघुदोलन आयाम वाली सरल आवर्त गति

III) किसी समय पर अचर त्वरण और प्रारंभिक वेग यू से गतिमान एक कण के वेग का समीकरण

Ques 36.

एक ट्यूमर पर विकिरण (रेडिएशन) उपचार का प्रभाव जबकि उपचार थोड़े समय के लिए परंतु नियमित अंतराल पर किया गया हो।

Ques 37.

 एक ट्यूमर पर रसायन औषधि के प्रभाव जबकि इन्हें एक दी हुई अवधि तक रोगी को दिया गया हो।

Ques 38.

द्रव्यमान M वाला एक कण केन्द्र से दूरी A  से विरामावस्था से प्रारंभ करके आकर्षण-केन्द्र की ओर  एक सरल रेखा में गतिमान होता है। केन्द्र से दूरी X पर इसका वेग   के अनुसार परिवर्तित करता है। बल-नियम ज्ञात कीजिए। 

Ques 39.

 यदि एक ग्रह अपनी कक्षा में, जिसे वृत्ताकार माना गया है, अचानक रूक जाता हो, तो दिखाइए कि वह उस कालावधि में सूर्य में गिर जाएगा जो कि ग्रह के परिक्रमण काल का गुना है। √2 8

Ques 40.

क) सरल आवर्त गति में गतिमान कण के वेग 8cm/sec और 6cm/sec होते हैं जबकि वह अपने गति-केन्द्र से क्रमशः 3cm और 4cm की दूरी पर होता है। गति का आवर्त काल और आयाम ज्ञात कीजिए।

Ques 41.

निम्नलिखित समीकरण निकाय लीजिए।
$
संगत रैखिक समीकरण-निकाय के क्रांतिक बिन्दु की प्रकृति ज्ञात कीजिए। 
ग) लंबाई l वाली डोरी के एक छोर को एक नियत बिन्दु से और दूसरे छोर को द्रव्यमान m वाली एक छड़ी से जोड़ दिया गया है। यह छड़ी अचर वेग v से एक वृत्त में चक्कर काट रही है। विमीय विश्लेषण की सहायता से डोरी में लग रहे बल का समीकरण ज्ञात कीजिए। 

Ques 42.

 एक पेराशूटिसट जिसका वजन (वस्तुतः द्रव्यमान) 64 किग्रा है, जमीन से 5000 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहे हेलीकाप्टर से नीचे गिरती है। वह गुरूत्व के प्रभाव के अधीन धरती की ओर गिरती है। यहां यह मान लीजिए कि गुरूत्व बल अचर है। यहां पर भी मान लीजिए कि वायु-प्रतिरोध से उत्पन्न बल पेराशूटिसट के वेग के आनुपातिक है। आनुपातिकता स्थिरांक  किग्रा/सेकेंड है, जबकि पेराशूट बंद है और  किग्रा/सेकेंड जबकि पेराशूट खुला होता है। यदि हेलीकाप्टर से गिरने के 1 मिनट बाद भी पेराशूट नहीं खुलता है तो बताइए कि कितने सेकेंड बाद वह धरती पर गिर जाएगी? 

Ques 43.

एक प्रक्षेप्य को दो अलग-अलग प्रक्षेप कोणों  और  पर एक अचर चाल v से इस तरह नियत कर दिया गया कि इससे समान परास प्राप्त हो। दिखाइए कि 

Ques 44.

जल निकाय में फाइटोप्लैंक्टन की एक विम संवृद्धि लीजिए। संवृद्धि की गतिकी का निर्धारण करने वाला निदर्श सूत्रित कीजिए, D इसका विसरण गुणांक है, r इसकी संवृद्धि दर है और R डूबने के कारण इसकी मृत्यु-दर है। यदि हम क्षेत्रफल  लें, और फाइटोप्लैंक्टन का प्रारंभिक सांद्रण  मान लें, तो किसी भी समय t पर  में फाइटोप्लैंक्टन का सांद्रण बंटन ज्ञात कीजिए।

Ques 45.

 एक दिए हुए वर्ष  में पैदा हुए व्यक्तियों का एक समूह लीजिए और मान लीजिए इस समूह में से t वर्ष बाद जीवित रहने वाले व्यक्तियों की संख्या n(t) है। मान लीजिए x(t) इस समूह के उन सदस्यों की संख्या है, जिन्हें t वर्ष बाद तक चेचक नहीं हुआ है और इसलिए वे अभी तक सुग्राह्य बने हुए हैं। मान लीजिए  वह दर है जिससे सुग्राह्य व्यक्तियों को चेचक होता है और  वह दर है जिससे चेचक से पीड़ित व्यक्तियों की मृत्यु हो जाती है। अंत में मान लीजिए कि चेचक के अतिरिक्त अन्य कारणों से व्यक्ति की मृत्यु होने की दर  है। यदि dx/dt और dn/dt क्रमशः वह दर हो जिससे चेचक होने के कारण तथा अन्य कारणों से मृत्यु होने पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या और पूरी जनसंख्या में कमी आती हो, तो
i) dx/dt और dn/dt के समीकरण लिखकर ऊपर की समस्या का सूत्रण करें।
ii)  लेकर यह दिखाइए कि z निम्नलिखित आदिमान समस्या को संतुष्ट करता है।
$
iii) किसी भी समय t पर z(t) का मान ज्ञात कीजिए।

iv) बर्नाली ने यह आकलित किया था कि  इन मानों की सहायता से 20 वर्ष की आयु वाले उन व्यक्तियों का समानुपात ज्ञात कीजिए जिन्हें चेचक नहीं हुआ था।

Ques 46.

एक एकाधिकारी कीमत ‘p’ प्रति इकाई निर्धारित करता है और मांग की गई राशि ‘q’ निम्नलिखित संबंध द्वारा प्राप्त है 
मान लीजिए रू० 9 की एक नियत लागत है और रू० 1 प्रति इकाई की उपांतिक लागत है।
i) एकाधिकारी का लाभ फलन लिखिए।
ii) अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘x’ ज्ञात कीजिए। अधिकतम लाभ भी ज्ञात कीजिए।
iii) एक कार्यक्षम प्रवेशी एकाधिकारी के व्यापार में प्रवेश करता है। उसे यह विश्वास है कि एकाधिकारी ‘x’ इकाइयों का उत्पाद करता रहेगा। इस कार्यक्षम प्रवेशी का लाभ फलन लिखिए।
iv) प्रवेशी के अधिकतम लाभ के लिए उत्पादित इकाइयों की संख्या ‘z’ ज्ञात कीजिए।
v) प्रवेशी का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसे व्यापार में प्रवेश करना चाहिए या नहीं।
vi) प्रवेशी के व्यापार में प्रवेश करने के बाद एकाधिकारी द्वारा अर्जित किया गया लाभ ज्ञात कीजिए।

Ques 47.

) निम्नलिखित त्रिघात कुल लागत फलन  लीजिए। यहां यह मान लीजिए कि q की कीमत प्रति एकक 15 है। वह उत्पादन ज्ञात कीजिए जिस पर अधिकतम लाभ प्राप्त होता है।
ख) प्रमुखता लागू करके नीचे दिए गए भुगतान आव्यूह से A और B की इष्टतम युक्तियां ज्ञात कीजिए।

ग) मान लीजिए पिछला पूर्वानुमान 2090 था और पिछली अवधि में विशेष चर का वास्तविक मान 1985 था और इसका सबसे पुराना मान 1955 था। हाल ही में किए गए चार प्रेक्षणों पर आधारित गतिमान औसत तकनीक को लागू करके अगली अवधि के लिए किया गया नया पूर्वानुमान ज्ञात कीजिए। 

Ques 48.

क) साम्य बिंदुओं का पता लगाकर और प्रावस्था पथ आलेखित करके निम्नलिखित निकायों के प्रावस्था आरेखों की तुलना कीजिए :
i) 

ii)  (5)

Ques 49.

वह महामारी निदर्श लीजिए जो आदि प्रतिबंध  पर  के अधीन निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा नियंत्रित है :
$
जहां x(t) समय t पर सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या है,  संपर्क दर है। ऐसा मान लिया गया है कि जनसंख्या संवृत्त है और लोग समांग रूप से एक दूसरे के साथ मिल-जुलकर रह रहे हैं। मान लीजिए संपर्क दर 0.002 है और सुग्राह्य व्यक्तियों की संख्या प्रारंभ में 5000 है।
i) जनसंख्या का घनत्व ज्ञात कीजिए जब व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
ii) वह समय (सप्ताहों में) ज्ञात कीजिए जिसमें व्यक्तियों के नए रोगी बनने की दर अधिकतम हो।
iii) नए रोगी बनने की अधिकतम दर प्राप्त कीजिए। 

Ques 50.

 दिए हुए प्रतिभूति समुच्चय में उनकी सभी निवेश सूचियां प्रदेश की परिसीमा पर या उसके अंदर स्थित है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।

सुसंगत प्रदेश में वह निवेश सूची ज्ञात कीजिए जिसका अधिकतम प्रतिफल हो। इस प्रदेश में वह निवेश सूची भी ज्ञात कीजिए जिसमें न्यूनतम जोखिम हो। 
ख) सुसंगत प्रदेश के दक्ष सीमांत को चित्रित करने की विधि की व्याख्या कीजिए। 
ग) यदि n प्रतिभूतियों की सभी निवेशसूचियां प्राप्त हो तो एक उत्तम निवेश सूची का चयन करने के लिए निवेशक को कौन-सा निकस अपनाना चाहिए। 

Ques 51.

 State two real-world problems where you think that mathematical modelling is the only approach to find the solution of the problem. Give 4 essentials for each of the problems. Why do you think that there is no other scientific alternative for the treatment of these problems. 
b) Classify the following into linear and non-linear models, justifying your classification.

i) Simple harmonic motion for small amplitude of oscillation.

ii) Population growth model given by

iii) Equation for velocity v of a particle at any time t, moving with a constant acceleration a, and initial velocity u.

iv) Equation describing dynamic stability of market equilibrium price given by

$

and p_t is the price in period t. 

Ques 52.

 Characterise the following as discrete or continuous giving reasons for your answers.

i) Effects of radiation treatment on a tumour when applied for short period of time but at regular intervals.

ii) Effects of chemotherapy drugs on a tumour when introduced into a patient for a given duration of time. 
b) A particle of mass m moves on a straight line towards the centre of attraction, starting from rest at a distance a from the centre. Its velocity at a distance x from the centre varies as . Find the law of force. 
c) If a planet was suddenly stopped in its orbit, supposed circular, show that it will fall into the sun in a time which is  times the period of the planet’s revolution. 

Ques 53.

 A particle moving in S.H.M has got the velocities  and  when it is at distance  and  respectively from the centre of its motion. Determine the period and the amplitude of motion. 
b) Consider the following system of equations

Find the nature of the critical point (0, 0) of the corresponding linear system. 
c) A string of length l is connected to a fixed point at one end and to a stick of mass m at the other. The stick is whirling in a circle at constant velocity v. Use dimensional analysis to find the equation of the force in the string. 

Ques 54.

A parachutist, whose weight (actually mass) is , drops from a helicopter  above the ground. She falls towards the earth under the influence of gravity. Assume that the gravitational force is constant. Assume that the force due to air resistance is proportional to the velocity of the parachutist. The proportionality constant is  when the parachute is closed, and is  when it is open. If the parachute does not open until  after the parachutist leaves the helicopter, after how many seconds will she hit the ground? 
b) A projectile is fixed with a constant speed v at two different angles of projection  and  such that it gives the same range. Show that 

Ques 55.

Consider a one-dimensional growth c(x, t) of phytoplankton in a water mass. Formulate the model describing the dynamics of growth taking into account the following: D, its diffusion coefficient, r its rate of growth, R its mortality rate due to sinking. Fixing the area of interest as  and the initial concentration of phytoplankton as , find the concentration distribution of phytoplankton in  at any time t. 
b) When an aeroplane ascends from take-off to an altitude of , by how much does the gravitational attraction acting on it decrease?

Ques 56.

 Consider the group of individuals born in a given year () and let n(t) be the number of these individuals surviving t year later. Let x(t) be the number of members of this group who have not had smallpox by year t and are therefore still susceptible. Let  be the rate at which susceptibles contract smallpox and let v be the rate at which people who contract smallpox die from the disease. Finally, let  be the death rate from all causes other than smallpox. If dx / dt and dn / dt are, respectively the rates at which the number of susceptibles and entire population decline due to contraction from smallpox and also due to death from all causes then
i) Formulate the above problem by writing equations for dx / dt and dn / dt.
ii) Taking , show that z satisfies the initial value problem

iii) Find z(t) at any time t.
iv) Bernoulli estimated that . Using these values, determine the proportion of 20 years old who have not had smallpox. 

Ques 57.

 A monopolist sets a price 'p' per unit and the quantity demanded 'q' is given by the following relation:

Let there be a fixed cost of Rs.9 and a marginal cost of Rs.1 per unit.
i) Write the profit function of monopolist.
ii) For maximum profit, find the number 'x' of units produced. Also find the maximum profit.
iii) A potential entrant enters into the business of the monopolist. He believes that the monopolist will go on making 'x' units. Write the profit function of the entrant.
iv) For maximum profit of entrant, find the number 'z' of units produced.
v) Find the maximum profit of the entrant. Explain whether he should enter into the business or not.

vi) Find the profit made by the monopolist after the entrant has entered into business. 

Ques 58.

Consider the cubic total cost function

Assume that the price of q is 15 per unit. Find the output which yields maximum profit. 
b) Apply dominance to find the optimum strategies of A and B from the pay-off matrix given below
 

c) Suppose that the previous forecast was 2090 and the actual value of the variable of interest for the period was 1985 and the oldest value of interest was 1955. Using the moving average technique based upon the most recent four observations find new forecast for the next period. 

Ques 59.

ompare the phase diagrams of the systems:

i) 

ii) 

by locating the equilibrium points and sketching the phase paths. 
b) Consider the epidemic model governed by the following equation

with initial condition  at . Here x(t) is the number of susceptibles at time t,  is the contact rate. The population is assumed to be closed and homogeneously mixing. Let the contact rate be 0.002 and the number of susceptibles be 5000 initially

i) Find the density of the population when the rate of appearance of new cases is maximum.

ii) Find the time (in weeks) at which the rate of appearance of new cases is maximum.

iii) Obtain the maximum rate of appearance of new cases. 

Ques 60.

 For a given set of securities, all their portfolios lie on or within the boundary of the region shown in Fig.1.

In the feasible region, find a portfolio which has maximum return. Also, find a portfolio in this region which has minimum risk.

b) Explain the method of delineating the efficient frontier of a feasible region.

c) Given all the portfolios of n securities what criterion would an investor use to select a good portfolio?

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