IGNOU MTE 13 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

जाँच कीजिए कि निम्नजिक्षित कथन सत्य है या असमय। अपने अतों की पुष्टि एक लघु उपपरित या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए।

i) यदि किसी कथा का प्रतिस्थितकस्य है, तो वह कथन स्वयं भी साय होगा।

ii)  एक रैखिक समधात पुनरावृणित संबंध है।

iii) पुनरावृतिसंबंध के एक विशेष हारका रूप है।

iv) चरी x₁,x₂ और x₃ में एक ऐसा बूलीय व्यंजक है जिसका CNF

 है।

v) यदि एक पासे को तीन बार कैका जाता है तो प्रत्येक बार प्राप्त होने की प्रायिकता  है।

vi) प्रत्येक विषम चक्र की वर्णिक संख्या और कोर वर्णिक संख्यामा होती है।

vii) प्रत्येक ऑयलरीय ग्राफ हैमिल्टोनीय है।

viii)  उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनमें किन्हीं 3 वस्तुओं को 4 संदूकों में रखा जाना है।

ix) 5 या अधिक शीर्षों पर एक स्वपूरक समतलीय याक का अभिनव है।

x) 6 के विभाजनों की संख्या 10 है।

Ques 2.

सूरीय व्यंजक  कार्क परिपथ बनाइए।

Ques 3.

निम्नलिखित कराको प्रकरूप में लिखिए।

i) बगीचे में एक नीली आँख वाला आदमी है।

ii) बगीचे में नीली आँखों वाले प्रायेक आद‌मी ने एक लाल टोपी पहनी हुई है।

iii)यदि किसी आद‌मी ने कोई भी टोपी नहीं पहनी है, तो उसकी आँकाली है।

Ques 4.

जनक फलों के प्रयोग से जातकीजिए।

Ques 5.

साद "COMBINSTORICS" के अको व्यवस्थित करने के ग 77 करोड़ तरीके हैं। इन मरीकी की ठीक-ठीक संख्या जात कीजिए।

Ques 6.

पुनरावृ‌त्ति संबंध

को हम कीजिए।

Ques 7.

समुच्चय  से (1,2,3,4) पर सभी आच्छादक फसनी की सूची बनाइए। समुच्चय से (1,2,3,4,5) पर किन आउाद‌क फलन हैं?

Ques 8.

किन्हीं कथनी  p,q और r के लिए, सिद्ध कीजिए।

Ques 9.

नीचे दिए ग्राफ के तीन अतुल्यकारी प्रेरित उपया बाहर, जिनमें प्रत्येक के शीर्षों की संख्या समान हो। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

Ques 10.

क्या पिटर्सन साफ का पूरक समीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Ques 11.

एक ग्राफ के उपविभाजन से आप क्या समोर का एक हैमिल्टनी की उपविभाजन हैमिल्टीनीया होता है? पुष्टि कीजिए।

Ques 12.

MTE-13 की जून, 2021 संयंत्र परीक्षा में निम्नलिखित कथन की एक फायक्ष और एक परीक्षा उपपन्ति देने के लिए कहा गया था।

यदि इस प्रकार है कि सम है और  भी सम है, तो b एक सम संख्या होगी

एक छात्र ने परीक्ष उपपति इस प्रकार दी।

"मान लीजिए b बराबरm+1 है, जोकि एक विषम संख्या है। हम पहले से ही जानते हैं कि a और  सम संख्याएँ हैं। यदि हम  में b =m+1 रख दें तो यह a + m + 1 हो जाती है, जो कि विषम संख्या है। इससे दिए गए कथन का विरोध उत्पन होता है। इसलिए, ब एक सम संख्या है।"

उपरोक्त उपपन्ति में क्या गलत है? साथ ही, एक सही प्रत्यक्ष एवं एक परोक्ष उपपन्ति दीजिए।

Ques 13.

संख्या 7 के सभी विभाजन को लिखिए और उनकी गणना कीजिए। अपनी उत्तर की जाँच के लिए खंड 2 की इकाई 5 के प्रमेया 5 में  लेकर p_n जनक नाका प्रयोग कीजिए। 

Ques 14.

x⁵को पतली कमणिली के रूप में लिखिए और इस प्रकार  के लिए  का मान

Ques 15.

यदि हमें केवल मारुति 800, टाटा सफारी या स्कोर्पियो को ही व्यवस्थित करना है तो इन माडलों की कारों को ॥ स्थानों वाली एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या व, के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध ज्ञात कीजिए। एक टाटा सफारी या स्कोर्पियो को दो स्थानों की जरूरत होती है जबकि एक मारुति 800 को केवल एक स्थान की जरूरत होती है। मान कर चलिए कि आपके पास प्रत्येक माडल की अनगिनत कारें हैं, और हम एक ही माडल की दो कारों में फर्क नहीं करते हैं।

Ques 16.

यदि  के लिए Km,n हैमिल्टोनी है पुष्टि कीजिए। और किस प्रकार संबंधित हैं? अपने उत्तर की 

Ques 17.

यदि 50 साइकिली की रंगने के लिए रंग का प्रयोग किया गया है और प्रत्येक साइकिल को एक ही रंग से रंगा गया है, जो दिखाइए कि कम से कम साइकिलों को एक ही रंग से रंगा गया है।

Ques 18.

एक संदूक में 6 साल और 4 ही गई हैं। क्या प्रायिकता है कि संदूक से याद‌छया चुनी हुई चार गौदों में से दो गर्दै जाम और दोहरी हैं?

Ques 19.

किसी ग्राफ G के लिए शीर्ष-संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय परिभाषित कीजिए। नीचे दिए गए ग्राफ

के लिए शीर्ष - संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Ques 20.

0 से 759 तक की संख्या में से किसी संसाली या से विभाजन नहीं है? 

क) पुनरावृ‌नित संबंध

की जनक फना विधि से हम कीजिए। साथ ही अपनी उन्तार से जात कीजिए।

Ques 21.

क्या 7 सीधी पर कोई 4-नियमित साफ है अपने उत्तम की पुष्टि कीजिए। 

Ques 22.

नीचे दी हुई तालिका में परिभाषित करन के लिए खूनीयाव्यांजक ज्ञात कीजिए।

Ques 23.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example.

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii) a_n+3a_n-1+2a_n-2= 2" is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relation a_n-2a_n-1 + a_n-2=1 has the form Cn².

iv) There exists a boolean expression in variables x,x, and x, with CNF as

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 24.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 25.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes.

Ques 26.

Using generating functions find 

Ques 27.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 28.

Solve the recurrence relation:

Ques 29.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 30.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 31.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 32.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 33.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 34.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

"If a,b ∈ Z such that a is even and a+b is even, then b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

"Let b be m+1, which is an odd number. We already know a and a+b are even. If we substitute b=m+1 in a + b, it becomes a+m+1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number."

What is wrong with the above proof? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 35.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for P, taking n =7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 36.

Express x⁵ in terms of falling factorials and hence evaluate for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 37.

Find a recurrence relation for a_n, the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 38.

If K_m,n for m, n ≥ 2 is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer.

Ques 39.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 40.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green?

Ques 41.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 42.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 43.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find a₅ using your answer.

Ques 44.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 45.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

Ques 46.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii)   is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relationhas the form 

iv) There exists a boolean expression in variables 

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) 3 4 S gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 47.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 48.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes

Ques 49.

Using generating functions find 

Ques 50.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 51.

Solve the recurrence relation:

Ques 52.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto

mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 53.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 54.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 55.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.b) Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 56.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 57.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 58.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

such that a is even and a +b is even, then   b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

“Let b be m +1, which is an odd number. We already know a and a +b are even. If we substitute b + m +1 in a + b, it becomes a + m +1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number.”

What is wrong with the above proof ? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 59.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for , Pn taking n= 7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 60.

Express 5 x in terms of falling factorials and hence evaluate m S5 for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 61.

Find a recurrence relation for an , the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 62.

  is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer

Ques 63.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 64.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green? 

Ques 65.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 66.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 67.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find 5 a using your answer.

Ques 68.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 69.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

x	y	z
1	0	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
1	1	0	1
0	0	0	0

Ques 70.

जाँच कीजिए कि निम्नजिक्षित कथन सत्य है या असमय। अपने अतों की पुष्टि एक लघु उपपरित या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए।

i) यदि किसी कथा का प्रतिस्थितकस्य है, तो वह कथन स्वयं भी साय होगा।

ii)  एक रैखिक समधात पुनरावृणित संबंध है।

iii) पुनरावृतिसंबंध के एक विशेष हारका रूप है।

iv) चरी x₁,x₂ और x₃ में एक ऐसा बूलीय व्यंजक है जिसका CNF

 है।

v) यदि एक पासे को तीन बार कैका जाता है तो प्रत्येक बार प्राप्त होने की प्रायिकता  है।

vi) प्रत्येक विषम चक्र की वर्णिक संख्या और कोर वर्णिक संख्यामा होती है।

vii) प्रत्येक ऑयलरीय ग्राफ हैमिल्टोनीय है।

viii)  उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनमें किन्हीं 3 वस्तुओं को 4 संदूकों में रखा जाना है।

ix) 5 या अधिक शीर्षों पर एक स्वपूरक समतलीय याक का अभिनव है।

x) 6 के विभाजनों की संख्या 10 है।

Ques 71.

सूरीय व्यंजक  कार्क परिपथ बनाइए।

Ques 72.

निम्नलिखित कराको प्रकरूप में लिखिए।

i) बगीचे में एक नीली आँख वाला आदमी है।

ii) बगीचे में नीली आँखों वाले प्रायेक आद‌मी ने एक लाल टोपी पहनी हुई है।

iii)यदि किसी आद‌मी ने कोई भी टोपी नहीं पहनी है, तो उसकी आँकाली है।

Ques 73.

जनक फलों के प्रयोग से जातकीजिए।

Ques 74.

साद "COMBINSTORICS" के अको व्यवस्थित करने के ग 77 करोड़ तरीके हैं। इन मरीकी की ठीक-ठीक संख्या जात कीजिए।

Ques 75.

पुनरावृ‌त्ति संबंध

को हम कीजिए।

Ques 76.

समुच्चय  से (1,2,3,4) पर सभी आच्छादक फसनी की सूची बनाइए। समुच्चय से (1,2,3,4,5) पर किन आउाद‌क फलन हैं?

Ques 77.

किन्हीं कथनी  p,q और r के लिए, सिद्ध कीजिए।

Ques 78.

नीचे दिए ग्राफ के तीन अतुल्यकारी प्रेरित उपया बाहर, जिनमें प्रत्येक के शीर्षों की संख्या समान हो। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

Ques 79.

क्या पिटर्सन साफ का पूरक समीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Ques 80.

एक ग्राफ के उपविभाजन से आप क्या समोर का एक हैमिल्टनी की उपविभाजन हैमिल्टीनीया होता है? पुष्टि कीजिए।

Ques 81.

MTE-13 की जून, 2021 संयंत्र परीक्षा में निम्नलिखित कथन की एक फायक्ष और एक परीक्षा उपपन्ति देने के लिए कहा गया था।

यदि इस प्रकार है कि सम है और  भी सम है, तो b एक सम संख्या होगी

एक छात्र ने परीक्ष उपपति इस प्रकार दी।

"मान लीजिए b बराबरm+1 है, जोकि एक विषम संख्या है। हम पहले से ही जानते हैं कि a और  सम संख्याएँ हैं। यदि हम  में b =m+1 रख दें तो यह a + m + 1 हो जाती है, जो कि विषम संख्या है। इससे दिए गए कथन का विरोध उत्पन होता है। इसलिए, ब एक सम संख्या है।"

उपरोक्त उपपन्ति में क्या गलत है? साथ ही, एक सही प्रत्यक्ष एवं एक परोक्ष उपपन्ति दीजिए।

Ques 82.

संख्या 7 के सभी विभाजन को लिखिए और उनकी गणना कीजिए। अपनी उत्तर की जाँच के लिए खंड 2 की इकाई 5 के प्रमेया 5 में  लेकर p_n जनक नाका प्रयोग कीजिए। 

Ques 83.

x⁵को पतली कमणिली के रूप में लिखिए और इस प्रकार  के लिए  का मान

Ques 84.

यदि हमें केवल मारुति 800, टाटा सफारी या स्कोर्पियो को ही व्यवस्थित करना है तो इन माडलों की कारों को ॥ स्थानों वाली एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या व, के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध ज्ञात कीजिए। एक टाटा सफारी या स्कोर्पियो को दो स्थानों की जरूरत होती है जबकि एक मारुति 800 को केवल एक स्थान की जरूरत होती है। मान कर चलिए कि आपके पास प्रत्येक माडल की अनगिनत कारें हैं, और हम एक ही माडल की दो कारों में फर्क नहीं करते हैं।

Ques 85.

यदि  के लिए Km,n हैमिल्टोनी है पुष्टि कीजिए। और किस प्रकार संबंधित हैं? अपने उत्तर की 

Ques 86.

यदि 50 साइकिली की रंगने के लिए रंग का प्रयोग किया गया है और प्रत्येक साइकिल को एक ही रंग से रंगा गया है, जो दिखाइए कि कम से कम साइकिलों को एक ही रंग से रंगा गया है।

Ques 87.

एक संदूक में 6 साल और 4 ही गई हैं। क्या प्रायिकता है कि संदूक से याद‌छया चुनी हुई चार गौदों में से दो गर्दै जाम और दोहरी हैं?

Ques 88.

किसी ग्राफ G के लिए शीर्ष-संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय परिभाषित कीजिए। नीचे दिए गए ग्राफ

के लिए शीर्ष - संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Ques 89.

0 से 759 तक की संख्या में से किसी संसाली या से विभाजन नहीं है? 

क) पुनरावृ‌नित संबंध

की जनक फना विधि से हम कीजिए। साथ ही अपनी उन्तार से जात कीजिए।

Ques 90.

क्या 7 सीधी पर कोई 4-नियमित साफ है अपने उत्तम की पुष्टि कीजिए। 

Ques 91.

नीचे दी हुई तालिका में परिभाषित करन के लिए खूनीयाव्यांजक ज्ञात कीजिए।

Ques 92.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example.

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii) a_n+3a_n-1+2a_n-2= 2" is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relation a_n-2a_n-1 + a_n-2=1 has the form Cn².

iv) There exists a boolean expression in variables x,x, and x, with CNF as

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 93.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 94.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes.

Ques 95.

Using generating functions find 

Ques 96.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 97.

Solve the recurrence relation:

Ques 98.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 99.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 100.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 101.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 102.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 103.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

"If a,b ∈ Z such that a is even and a+b is even, then b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

"Let b be m+1, which is an odd number. We already know a and a+b are even. If we substitute b=m+1 in a + b, it becomes a+m+1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number."

What is wrong with the above proof? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 104.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for P, taking n =7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 105.

Express x⁵ in terms of falling factorials and hence evaluate for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 106.

Find a recurrence relation for a_n, the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 107.

If K_m,n for m, n ≥ 2 is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer.

Ques 108.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 109.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green?

Ques 110.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 111.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 112.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find a₅ using your answer.

Ques 113.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 114.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

Ques 115.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii)   is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relationhas the form 

iv) There exists a boolean expression in variables 

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) 3 4 S gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 116.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 117.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes

Ques 118.

Using generating functions find 

Ques 119.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 120.

Solve the recurrence relation:

Ques 121.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto

mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 122.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 123.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 124.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.b) Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 125.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 126.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 127.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

such that a is even and a +b is even, then   b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

“Let b be m +1, which is an odd number. We already know a and a +b are even. If we substitute b + m +1 in a + b, it becomes a + m +1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number.”

What is wrong with the above proof ? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 128.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for , Pn taking n= 7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 129.

Express 5 x in terms of falling factorials and hence evaluate m S5 for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 130.

Find a recurrence relation for an , the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 131.

  is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer

Ques 132.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 133.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green? 

Ques 134.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 135.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 136.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find 5 a using your answer.

Ques 137.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 138.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

x	y	z
1	0	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
1	1	0	1
0	0	0	0

Ques 139.

जाँच कीजिए कि निम्नजिक्षित कथन सत्य है या असमय। अपने अतों की पुष्टि एक लघु उपपरित या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए।

i) यदि किसी कथा का प्रतिस्थितकस्य है, तो वह कथन स्वयं भी साय होगा।

ii)  एक रैखिक समधात पुनरावृणित संबंध है।

iii) पुनरावृतिसंबंध के एक विशेष हारका रूप है।

iv) चरी x₁,x₂ और x₃ में एक ऐसा बूलीय व्यंजक है जिसका CNF

 है।

v) यदि एक पासे को तीन बार कैका जाता है तो प्रत्येक बार प्राप्त होने की प्रायिकता  है।

vi) प्रत्येक विषम चक्र की वर्णिक संख्या और कोर वर्णिक संख्यामा होती है।

vii) प्रत्येक ऑयलरीय ग्राफ हैमिल्टोनीय है।

viii)  उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनमें किन्हीं 3 वस्तुओं को 4 संदूकों में रखा जाना है।

ix) 5 या अधिक शीर्षों पर एक स्वपूरक समतलीय याक का अभिनव है।

x) 6 के विभाजनों की संख्या 10 है।

Ques 140.

सूरीय व्यंजक  कार्क परिपथ बनाइए।

Ques 141.

निम्नलिखित कराको प्रकरूप में लिखिए।

i) बगीचे में एक नीली आँख वाला आदमी है।

ii) बगीचे में नीली आँखों वाले प्रायेक आद‌मी ने एक लाल टोपी पहनी हुई है।

iii)यदि किसी आद‌मी ने कोई भी टोपी नहीं पहनी है, तो उसकी आँकाली है।

Ques 142.

जनक फलों के प्रयोग से जातकीजिए।

Ques 143.

साद "COMBINSTORICS" के अको व्यवस्थित करने के ग 77 करोड़ तरीके हैं। इन मरीकी की ठीक-ठीक संख्या जात कीजिए।

Ques 144.

पुनरावृ‌त्ति संबंध

को हम कीजिए।

Ques 145.

समुच्चय  से (1,2,3,4) पर सभी आच्छादक फसनी की सूची बनाइए। समुच्चय से (1,2,3,4,5) पर किन आउाद‌क फलन हैं?

Ques 146.

किन्हीं कथनी  p,q और r के लिए, सिद्ध कीजिए।

Ques 147.

नीचे दिए ग्राफ के तीन अतुल्यकारी प्रेरित उपया बाहर, जिनमें प्रत्येक के शीर्षों की संख्या समान हो। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

Ques 148.

क्या पिटर्सन साफ का पूरक समीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Ques 149.

एक ग्राफ के उपविभाजन से आप क्या समोर का एक हैमिल्टनी की उपविभाजन हैमिल्टीनीया होता है? पुष्टि कीजिए।

Ques 150.

MTE-13 की जून, 2021 संयंत्र परीक्षा में निम्नलिखित कथन की एक फायक्ष और एक परीक्षा उपपन्ति देने के लिए कहा गया था।

यदि इस प्रकार है कि सम है और  भी सम है, तो b एक सम संख्या होगी

एक छात्र ने परीक्ष उपपति इस प्रकार दी।

"मान लीजिए b बराबरm+1 है, जोकि एक विषम संख्या है। हम पहले से ही जानते हैं कि a और  सम संख्याएँ हैं। यदि हम  में b =m+1 रख दें तो यह a + m + 1 हो जाती है, जो कि विषम संख्या है। इससे दिए गए कथन का विरोध उत्पन होता है। इसलिए, ब एक सम संख्या है।"

उपरोक्त उपपन्ति में क्या गलत है? साथ ही, एक सही प्रत्यक्ष एवं एक परोक्ष उपपन्ति दीजिए।

Ques 151.

संख्या 7 के सभी विभाजन को लिखिए और उनकी गणना कीजिए। अपनी उत्तर की जाँच के लिए खंड 2 की इकाई 5 के प्रमेया 5 में  लेकर p_n जनक नाका प्रयोग कीजिए। 

Ques 152.

x⁵को पतली कमणिली के रूप में लिखिए और इस प्रकार  के लिए  का मान

Ques 153.

यदि हमें केवल मारुति 800, टाटा सफारी या स्कोर्पियो को ही व्यवस्थित करना है तो इन माडलों की कारों को ॥ स्थानों वाली एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या व, के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध ज्ञात कीजिए। एक टाटा सफारी या स्कोर्पियो को दो स्थानों की जरूरत होती है जबकि एक मारुति 800 को केवल एक स्थान की जरूरत होती है। मान कर चलिए कि आपके पास प्रत्येक माडल की अनगिनत कारें हैं, और हम एक ही माडल की दो कारों में फर्क नहीं करते हैं।

Ques 154.

यदि  के लिए Km,n हैमिल्टोनी है पुष्टि कीजिए। और किस प्रकार संबंधित हैं? अपने उत्तर की 

Ques 155.

यदि 50 साइकिली की रंगने के लिए रंग का प्रयोग किया गया है और प्रत्येक साइकिल को एक ही रंग से रंगा गया है, जो दिखाइए कि कम से कम साइकिलों को एक ही रंग से रंगा गया है।

Ques 156.

एक संदूक में 6 साल और 4 ही गई हैं। क्या प्रायिकता है कि संदूक से याद‌छया चुनी हुई चार गौदों में से दो गर्दै जाम और दोहरी हैं?

Ques 157.

किसी ग्राफ G के लिए शीर्ष-संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय परिभाषित कीजिए। नीचे दिए गए ग्राफ

के लिए शीर्ष - संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Ques 158.

0 से 759 तक की संख्या में से किसी संसाली या से विभाजन नहीं है? 

क) पुनरावृ‌नित संबंध

की जनक फना विधि से हम कीजिए। साथ ही अपनी उन्तार से जात कीजिए।

Ques 159.

क्या 7 सीधी पर कोई 4-नियमित साफ है अपने उत्तम की पुष्टि कीजिए। 

Ques 160.

नीचे दी हुई तालिका में परिभाषित करन के लिए खूनीयाव्यांजक ज्ञात कीजिए।

Ques 161.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example.

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii) a_n+3a_n-1+2a_n-2= 2" is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relation a_n-2a_n-1 + a_n-2=1 has the form Cn².

iv) There exists a boolean expression in variables x,x, and x, with CNF as

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 162.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 163.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes.

Ques 164.

Using generating functions find 

Ques 165.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 166.

Solve the recurrence relation:

Ques 167.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 168.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 169.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 170.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 171.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 172.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

"If a,b ∈ Z such that a is even and a+b is even, then b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

"Let b be m+1, which is an odd number. We already know a and a+b are even. If we substitute b=m+1 in a + b, it becomes a+m+1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number."

What is wrong with the above proof? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 173.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for P, taking n =7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 174.

Express x⁵ in terms of falling factorials and hence evaluate for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 175.

Find a recurrence relation for a_n, the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 176.

If K_m,n for m, n ≥ 2 is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer.

Ques 177.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 178.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green?

Ques 179.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 180.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 181.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find a₅ using your answer.

Ques 182.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 183.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

Ques 184.

जाँच कीजिए कि निम्नजिक्षित कथन सत्य है या असमय। अपने अतों की पुष्टि एक लघु उपपरित या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए।

i) यदि किसी कथा का प्रतिस्थितकस्य है, तो वह कथन स्वयं भी साय होगा।

ii)  एक रैखिक समधात पुनरावृणित संबंध है।

iii) पुनरावृतिसंबंध के एक विशेष हारका रूप है।

iv) चरी x₁,x₂ और x₃ में एक ऐसा बूलीय व्यंजक है जिसका CNF

 है।

v) यदि एक पासे को तीन बार कैका जाता है तो प्रत्येक बार प्राप्त होने की प्रायिकता  है।

vi) प्रत्येक विषम चक्र की वर्णिक संख्या और कोर वर्णिक संख्यामा होती है।

vii) प्रत्येक ऑयलरीय ग्राफ हैमिल्टोनीय है।

viii)  उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनमें किन्हीं 3 वस्तुओं को 4 संदूकों में रखा जाना है।

ix) 5 या अधिक शीर्षों पर एक स्वपूरक समतलीय याक का अभिनव है।

x) 6 के विभाजनों की संख्या 10 है।

Ques 185.

सूरीय व्यंजक  कार्क परिपथ बनाइए।

Ques 186.

निम्नलिखित कराको प्रकरूप में लिखिए।

i) बगीचे में एक नीली आँख वाला आदमी है।

ii) बगीचे में नीली आँखों वाले प्रायेक आद‌मी ने एक लाल टोपी पहनी हुई है।

iii)यदि किसी आद‌मी ने कोई भी टोपी नहीं पहनी है, तो उसकी आँकाली है।

Ques 187.

जनक फलों के प्रयोग से जातकीजिए।

Ques 188.

साद "COMBINSTORICS" के अको व्यवस्थित करने के ग 77 करोड़ तरीके हैं। इन मरीकी की ठीक-ठीक संख्या जात कीजिए।

Ques 189.

पुनरावृ‌त्ति संबंध

को हम कीजिए।

Ques 190.

समुच्चय  से (1,2,3,4) पर सभी आच्छादक फसनी की सूची बनाइए। समुच्चय से (1,2,3,4,5) पर किन आउाद‌क फलन हैं?

Ques 191.

किन्हीं कथनी  p,q और r के लिए, सिद्ध कीजिए।

Ques 192.

नीचे दिए ग्राफ के तीन अतुल्यकारी प्रेरित उपया बाहर, जिनमें प्रत्येक के शीर्षों की संख्या समान हो। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

Ques 193.

क्या पिटर्सन साफ का पूरक समीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Ques 194.

एक ग्राफ के उपविभाजन से आप क्या समोर का एक हैमिल्टनी की उपविभाजन हैमिल्टीनीया होता है? पुष्टि कीजिए।

Ques 195.

MTE-13 की जून, 2021 संयंत्र परीक्षा में निम्नलिखित कथन की एक फायक्ष और एक परीक्षा उपपन्ति देने के लिए कहा गया था।

यदि इस प्रकार है कि सम है और  भी सम है, तो b एक सम संख्या होगी

एक छात्र ने परीक्ष उपपति इस प्रकार दी।

"मान लीजिए b बराबरm+1 है, जोकि एक विषम संख्या है। हम पहले से ही जानते हैं कि a और  सम संख्याएँ हैं। यदि हम  में b =m+1 रख दें तो यह a + m + 1 हो जाती है, जो कि विषम संख्या है। इससे दिए गए कथन का विरोध उत्पन होता है। इसलिए, ब एक सम संख्या है।"

उपरोक्त उपपन्ति में क्या गलत है? साथ ही, एक सही प्रत्यक्ष एवं एक परोक्ष उपपन्ति दीजिए।

Ques 196.

संख्या 7 के सभी विभाजन को लिखिए और उनकी गणना कीजिए। अपनी उत्तर की जाँच के लिए खंड 2 की इकाई 5 के प्रमेया 5 में  लेकर p_n जनक नाका प्रयोग कीजिए। 

Ques 197.

x⁵को पतली कमणिली के रूप में लिखिए और इस प्रकार  के लिए  का मान

Ques 198.

यदि हमें केवल मारुति 800, टाटा सफारी या स्कोर्पियो को ही व्यवस्थित करना है तो इन माडलों की कारों को ॥ स्थानों वाली एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या व, के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध ज्ञात कीजिए। एक टाटा सफारी या स्कोर्पियो को दो स्थानों की जरूरत होती है जबकि एक मारुति 800 को केवल एक स्थान की जरूरत होती है। मान कर चलिए कि आपके पास प्रत्येक माडल की अनगिनत कारें हैं, और हम एक ही माडल की दो कारों में फर्क नहीं करते हैं।

Ques 199.

यदि  के लिए Km,n हैमिल्टोनी है पुष्टि कीजिए। और किस प्रकार संबंधित हैं? अपने उत्तर की 

Ques 200.

यदि 50 साइकिली की रंगने के लिए रंग का प्रयोग किया गया है और प्रत्येक साइकिल को एक ही रंग से रंगा गया है, जो दिखाइए कि कम से कम साइकिलों को एक ही रंग से रंगा गया है।

Ques 201.

एक संदूक में 6 साल और 4 ही गई हैं। क्या प्रायिकता है कि संदूक से याद‌छया चुनी हुई चार गौदों में से दो गर्दै जाम और दोहरी हैं?

Ques 202.

किसी ग्राफ G के लिए शीर्ष-संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय परिभाषित कीजिए। नीचे दिए गए ग्राफ

के लिए शीर्ष - संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Ques 203.

0 से 759 तक की संख्या में से किसी संसाली या से विभाजन नहीं है? 

क) पुनरावृ‌नित संबंध

की जनक फना विधि से हम कीजिए। साथ ही अपनी उन्तार से जात कीजिए।

Ques 204.

क्या 7 सीधी पर कोई 4-नियमित साफ है अपने उत्तम की पुष्टि कीजिए। 

Ques 205.

नीचे दी हुई तालिका में परिभाषित करन के लिए खूनीयाव्यांजक ज्ञात कीजिए।

Ques 206.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example.

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii) a_n+3a_n-1+2a_n-2= 2" is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relation a_n-2a_n-1 + a_n-2=1 has the form Cn².

iv) There exists a boolean expression in variables x,x, and x, with CNF as

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 207.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 208.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes.

Ques 209.

Using generating functions find 

Ques 210.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 211.

Solve the recurrence relation:

Ques 212.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 213.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 214.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 215.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 216.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 217.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

"If a,b ∈ Z such that a is even and a+b is even, then b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

"Let b be m+1, which is an odd number. We already know a and a+b are even. If we substitute b=m+1 in a + b, it becomes a+m+1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number."

What is wrong with the above proof? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 218.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for P, taking n =7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 219.

Express x⁵ in terms of falling factorials and hence evaluate for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 220.

Find a recurrence relation for a_n, the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 221.

If K_m,n for m, n ≥ 2 is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer.

Ques 222.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 223.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green?

Ques 224.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 225.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 226.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find a₅ using your answer.

Ques 227.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 228.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

Ques 229.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii)   is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relationhas the form 

iv) There exists a boolean expression in variables 

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) 3 4 S gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 230.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 231.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes

Ques 232.

Using generating functions find 

Ques 233.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 234.

Solve the recurrence relation:

Ques 235.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto

mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 236.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 237.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 238.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.b) Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 239.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 240.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 241.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

such that a is even and a +b is even, then   b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

“Let b be m +1, which is an odd number. We already know a and a +b are even. If we substitute b + m +1 in a + b, it becomes a + m +1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number.”

What is wrong with the above proof ? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 242.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for , Pn taking n= 7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 243.

Express 5 x in terms of falling factorials and hence evaluate m S5 for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 244.

Find a recurrence relation for an , the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 245.

  is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer

Ques 246.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 247.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green? 

Ques 248.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 249.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 250.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find 5 a using your answer.

Ques 251.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 252.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

x	y	z
1	0	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
1	1	0	1
0	0	0	0

Ques 253.

जाँच कीजिए कि निम्नजिक्षित कथन सत्य है या असमय। अपने अतों की पुष्टि एक लघु उपपरित या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए।

i) यदि किसी कथा का प्रतिस्थितकस्य है, तो वह कथन स्वयं भी साय होगा।

ii)  एक रैखिक समधात पुनरावृणित संबंध है।

iii) पुनरावृतिसंबंध के एक विशेष हारका रूप है।

iv) चरी x₁,x₂ और x₃ में एक ऐसा बूलीय व्यंजक है जिसका CNF

 है।

v) यदि एक पासे को तीन बार कैका जाता है तो प्रत्येक बार प्राप्त होने की प्रायिकता  है।

vi) प्रत्येक विषम चक्र की वर्णिक संख्या और कोर वर्णिक संख्यामा होती है।

vii) प्रत्येक ऑयलरीय ग्राफ हैमिल्टोनीय है।

viii)  उन तरीकों की संख्या को दर्शाता है जिनमें किन्हीं 3 वस्तुओं को 4 संदूकों में रखा जाना है।

ix) 5 या अधिक शीर्षों पर एक स्वपूरक समतलीय याक का अभिनव है।

x) 6 के विभाजनों की संख्या 10 है।

Ques 254.

सूरीय व्यंजक  कार्क परिपथ बनाइए।

Ques 255.

निम्नलिखित कराको प्रकरूप में लिखिए।

i) बगीचे में एक नीली आँख वाला आदमी है।

ii) बगीचे में नीली आँखों वाले प्रायेक आद‌मी ने एक लाल टोपी पहनी हुई है।

iii)यदि किसी आद‌मी ने कोई भी टोपी नहीं पहनी है, तो उसकी आँकाली है।

Ques 256.

जनक फलों के प्रयोग से जातकीजिए।

Ques 257.

साद "COMBINSTORICS" के अको व्यवस्थित करने के ग 77 करोड़ तरीके हैं। इन मरीकी की ठीक-ठीक संख्या जात कीजिए।

Ques 258.

पुनरावृ‌त्ति संबंध

को हम कीजिए।

Ques 259.

समुच्चय  से (1,2,3,4) पर सभी आच्छादक फसनी की सूची बनाइए। समुच्चय से (1,2,3,4,5) पर किन आउाद‌क फलन हैं?

Ques 260.

किन्हीं कथनी  p,q और r के लिए, सिद्ध कीजिए।

Ques 261.

नीचे दिए ग्राफ के तीन अतुल्यकारी प्रेरित उपया बाहर, जिनमें प्रत्येक के शीर्षों की संख्या समान हो। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

Ques 262.

क्या पिटर्सन साफ का पूरक समीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

Ques 263.

एक ग्राफ के उपविभाजन से आप क्या समोर का एक हैमिल्टनी की उपविभाजन हैमिल्टीनीया होता है? पुष्टि कीजिए।

Ques 264.

MTE-13 की जून, 2021 संयंत्र परीक्षा में निम्नलिखित कथन की एक फायक्ष और एक परीक्षा उपपन्ति देने के लिए कहा गया था।

यदि इस प्रकार है कि सम है और  भी सम है, तो b एक सम संख्या होगी

एक छात्र ने परीक्ष उपपति इस प्रकार दी।

"मान लीजिए b बराबरm+1 है, जोकि एक विषम संख्या है। हम पहले से ही जानते हैं कि a और  सम संख्याएँ हैं। यदि हम  में b =m+1 रख दें तो यह a + m + 1 हो जाती है, जो कि विषम संख्या है। इससे दिए गए कथन का विरोध उत्पन होता है। इसलिए, ब एक सम संख्या है।"

उपरोक्त उपपन्ति में क्या गलत है? साथ ही, एक सही प्रत्यक्ष एवं एक परोक्ष उपपन्ति दीजिए।

Ques 265.

संख्या 7 के सभी विभाजन को लिखिए और उनकी गणना कीजिए। अपनी उत्तर की जाँच के लिए खंड 2 की इकाई 5 के प्रमेया 5 में  लेकर p_n जनक नाका प्रयोग कीजिए। 

Ques 266.

x⁵को पतली कमणिली के रूप में लिखिए और इस प्रकार  के लिए  का मान

Ques 267.

यदि हमें केवल मारुति 800, टाटा सफारी या स्कोर्पियो को ही व्यवस्थित करना है तो इन माडलों की कारों को ॥ स्थानों वाली एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या व, के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध ज्ञात कीजिए। एक टाटा सफारी या स्कोर्पियो को दो स्थानों की जरूरत होती है जबकि एक मारुति 800 को केवल एक स्थान की जरूरत होती है। मान कर चलिए कि आपके पास प्रत्येक माडल की अनगिनत कारें हैं, और हम एक ही माडल की दो कारों में फर्क नहीं करते हैं।

Ques 268.

यदि  के लिए Km,n हैमिल्टोनी है पुष्टि कीजिए। और किस प्रकार संबंधित हैं? अपने उत्तर की 

Ques 269.

यदि 50 साइकिली की रंगने के लिए रंग का प्रयोग किया गया है और प्रत्येक साइकिल को एक ही रंग से रंगा गया है, जो दिखाइए कि कम से कम साइकिलों को एक ही रंग से रंगा गया है।

Ques 270.

एक संदूक में 6 साल और 4 ही गई हैं। क्या प्रायिकता है कि संदूक से याद‌छया चुनी हुई चार गौदों में से दो गर्दै जाम और दोहरी हैं?

Ques 271.

किसी ग्राफ G के लिए शीर्ष-संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय परिभाषित कीजिए। नीचे दिए गए ग्राफ

के लिए शीर्ष - संबद्वतांक और काट शीर्ष समुच्चय ज्ञात कीजिए।

Ques 272.

0 से 759 तक की संख्या में से किसी संसाली या से विभाजन नहीं है? 

क) पुनरावृ‌नित संबंध

की जनक फना विधि से हम कीजिए। साथ ही अपनी उन्तार से जात कीजिए।

Ques 273.

क्या 7 सीधी पर कोई 4-नियमित साफ है अपने उत्तम की पुष्टि कीजिए। 

Ques 274.

नीचे दी हुई तालिका में परिभाषित करन के लिए खूनीयाव्यांजक ज्ञात कीजिए।

Ques 275.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example.

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii) a_n+3a_n-1+2a_n-2= 2" is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relation a_n-2a_n-1 + a_n-2=1 has the form Cn².

iv) There exists a boolean expression in variables x,x, and x, with CNF as

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 276.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 277.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes.

Ques 278.

Using generating functions find 

Ques 279.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 280.

Solve the recurrence relation:

Ques 281.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 282.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 283.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 284.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 285.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 286.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

"If a,b ∈ Z such that a is even and a+b is even, then b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

"Let b be m+1, which is an odd number. We already know a and a+b are even. If we substitute b=m+1 in a + b, it becomes a+m+1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number."

What is wrong with the above proof? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 287.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for P, taking n =7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 288.

Express x⁵ in terms of falling factorials and hence evaluate for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 289.

Find a recurrence relation for a_n, the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 290.

If K_m,n for m, n ≥ 2 is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer.

Ques 291.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 292.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green?

Ques 293.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 294.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 295.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find a₅ using your answer.

Ques 296.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 297.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

Ques 298.

Check whether the following statements are true or not. Justify your answers with a short proof or a counter example

i) If the contrapositive of a statement is true, then the statement itself is also true.

ii)   is a linear homogeneous recurrence relation.

iii) A particular solution of the recurrence relationhas the form 

iv) There exists a boolean expression in variables 

v) If a dice is rolled thrice, then the probability of getting a 6 each time is 

vi) Every odd cycle has the same chromatic and edge chromatic numbers.

vii) Every Eulerian graph is Hamiltonian.

viii) 3 4 S gives the number of ways in which any 3 objects can be placed in any 4 boxes.

ix) There exists a self-complementary planar graph on 5 or more vertices.

x) The number of partitions of 6 is 10.

Ques 299.

Draw the logic circuit for the Boolean expression

Ques 300.

Express the following statements in symbolic form.

i) There is a man in the park with blue eyes.

ii) Every blue-eyed man in the park is wearing a red hat.

iii) If a man wears no hat, then he has black eyes

Ques 301.

Using generating functions find 

Ques 302.

There are about 77 crore ways to arrange the letters of the word “COMBINATORICS”. Count the exact number of such ways.

Ques 303.

Solve the recurrence relation:

Ques 304.

List all the onto mappings from the set {a,b,c,d} to {1,2,3,4}. How many onto

mappings are there form {a,b,c,d} to {1,2,3,4,5}?

Ques 305.

For any statements p,q and r, prove that

Ques 306.

Draw three nonisomorphic induced subgraphs of the following graph, each having the same number of vertices. Justify your choice.

Ques 307.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.b) Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 308.

Is the complement of the Peterson graph planar? Justify your answer.

Ques 309.

What do you understand by a subdivision of a graph? Is every subdivision of a Hamiltonian graph Hamiltonian? Justify.

Ques 310.

In the June, 2021 Term-End Examination of MTE-13, it was asked to give a direct and an indirect proof of the following statement.

such that a is even and a +b is even, then   b is even."

One student gave an indirect proof as follows:

“Let b be m +1, which is an odd number. We already know a and a +b are even. If we substitute b + m +1 in a + b, it becomes a + m +1, which is an odd number. This contradicts the given statement. Hence b is an even number.”

What is wrong with the above proof ? Also give a correct direct and an indirect proof.

Ques 311.

write down and count all the partitions of the number 7. To verify your answer use the generating function for , Pn taking n= 7 in Theorem 5 (of Unit 5, Block2).

Ques 312.

Express 5 x in terms of falling factorials and hence evaluate m S5 for m = 0,1,2,3,4,5.

Ques 313.

Find a recurrence relation for an , the number of ways to arrange cars in a row with n spaces if we can use Maruti 800, Tata Safari or Scorpio. A Tata Safari or Scorpio requires two spaces, whereas a Maruti 800 requires just one space. Assume that you have unlimited number of each type of car and we do not distinguish between 2 cars of the same type.

Ques 314.

  is Hamiltonian, how are m and n related? Justify your answer

Ques 315.

Show that if 7 colours are used to paint 50 bicycles and each bicycle is coloured with a single colour, at least 8 bicycles will have the same colour.

Ques 316.

A box contains 6 red and 4 green balls. Four balls are selected from the box at random. What is the probability that two of the selected balls will be red and two will be green? 

Ques 317.

Define vertex connectivity and cut vertex set of any graph G. Find the vertex connectivity and cut vertex set for the following graph:

Ques 318.

How many numbers from 0 to 759 are not divisible by either 3 or 7?

Ques 319.

Solve the recurrence relation:

using generating function technique. Also find 5 a using your answer.

Ques 320.

Is there a 4-regular graph on 7 vertices? Justify your answer.

Ques 321.

Find the Boolean expression in the DNF form for the function defined in tabular form below:

x	y	z
1	0	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1
1	1	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
1	1	0	1
0	0	0	0

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