IGNOU BMTE 141 SOLVED ASSIGNMENT 2025

Ques 1.

Find the angle between the vectors √2i + 2j + 2k and i + √2j + √2k.

Ques 2.

Find the vector equation of the plane determined by the points (1,0,-1), (0, 1, 1) and (-1,1,0).

Ques 3.

Check whether W = {(x, y, z) ∈ R³ |x + y - z = 0} is a subspace of R³.

Ques 4.

Check whether the set of vectors {1 + x, x + x², 1 + x³} is a linearly independent set of vectors in P3, the vector space of polynomials of degree ≤ 3.

Ques 5.

Check whether T: R² → R², defined by T(x, y) = (-y, x) is a linear transformation.

Ques 6.

If {U¹, U²} is an ordered basis of R2 and {f_₁ (v), f₂ (v)} is the corresponding dual basis find f₁ (2v₁+v₂) and f₂ (U₁-2v₂).

Ques 7.

Find the kernel of the linear transformation T: R² → R² defined by T(x, y) = (2x + 3y, 2x – 3y).

Ques 8.

Describe the linear transformation T:R² → R² such that

where B is the standard basis of R².

Ques 9.

Find the matrix of the linear transformation T: R² → R² defined by T(x, y) = (2y, x - y) with respect to the ordered basis {(0, -1), (-1,0)}.

Ques 10.

Let A be a 2 x 3 matrix, B be a 3 x 4 matrix and C be a 3 x 2 matrix and D be a 3 x 4 matrix. Is AB + C^tD defined? Justify your answer.

Ques 11.

Verify Cayley-Hamilton theorem for the matrix 

Ques 12.

Check whether    is an eigenvector for the matrix   What is the corresponding eigenvalue? 

Ques 13.

Let C[0, 1] be the inner product space of continous real valued functions on the interval [0, 1] with the inner product 

Find the inner product of the functions f(t) = 2t,g(t) = 1/ t²+5. 

Ques 14.

Find adjoint of the linear operator T: C² → C² defined by T (z₁, z₂) = (z₂, z₁ + iz₂) with respect to the standard inner product on C².

Ques 15.

Find the signature of the quadratic form 

Ques 16.

Let S be any non-empty set and let V(S) be the set of all real valued functions on R. Define addition on V(s) by (f+g)(x) = f(x) + g(x) and scalar multiplication by (af)(x) = af (x). Check that (V(S), +, -) is a vector space.

Ques 17.

Check that B = {1, 2x + 1, (x - 1)²} is a basis for P_₂, the vector space of polynomials with real coefficients of degree ≤ 2.

Ques 18.

Let T: R³ → R³ be a linear operator and suppose the matrix of the operator with respect to the ordered basis

 is  Find the matrix of the linear transformation with respect to the basis

Ques 19.

Show that W = {(x, 4x, 3x) ∈ R²x ∈ R} is a subspace of R³. Also find a basis for subspace U of R³ which satisfies W ⊕ U = R³.

Ques 20.

Find the eigenvalues and eigenvectors of the matrix B =  . Is the matrix diagonalisable? Justify your answer.

Ques 21.

Find Adj(A) where A =  .  Hence  find A^-1.

Ques 22.

Solve the folowing set of simultaneous equations using Cramer's rule:

x+2y+ z = 3

2x - y+2z = 1

3x+y+z=0

Ques 23.

Find the minimal polynomial of the matrix

Ques 24.

Let V be the vector space of all real valued functions that are twice differentiable in R and

S = {cos x, sin. x, x cos x, x sin x}.

Check that S is a linearly independent set over R. (Hint: Consider the equation

a ₀cos x + a_₁ sin x + a₂x cos x + a₃x sin x.

(Put x = 0, π, π/2,π/4, etc. and find a₁.)

Ques 25.

Consider the linear operator T: C³ → C³, defined by

i) Compute T* and check whether Tis self-adjoint.

ii) Check whether T is unitary.

Ques 26.

Let (x₁, x₂, x₃) and (y₁, y₂, y₃) represent the coordinates with respect to the bases B₁ = {(1,0,0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}, B₂ = {(1,0,0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}. If    find the representation of Q in terms of  (y₁, y₂, y₃).

Ques 27.

Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form-x2 + y2 + z² + 4xy + 4xz. Also, find its principal axes.

Ques 28.

Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counterexample.

i) If W₁ and W₂ are proper subspaces of a non-zero, finite dimensional, vector space V and dim(W₁) > dim(V)/2, dim(W2) > dim(V)/2, the W₁ ∩ W₂ ≠ {0}.

ii) If Vis a vector space and S = {U1, U2,..., Un} CV, n ≥ 3, is such that v₁ ≠ v; if i ≠ j, then S is a linearly independent set.

iii) If T1, T2: V → Vare linear operators on a finite dimensional vector space Vand T1 ∘ T2 is invertible, T2 ∘ T₁ is also invertible.

iv) If an n x n square matrix, n ≥ 2 is diagonalisable then it has the same minimal polynomial and characteristic polynomial.

If T1, T2: V → Vare self adjoint operators on a finite dimensional inner product space V, then T₁ + T₂ is also a self adjoint operator.

Ques 29.

सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।. 

Ques 30.

बिंदुओं (1,0,-1), (0, 1, 1) और (-1,1,0) द्वारा निर्धारित समतल की सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये ।. 

Ques 31.

जाँच कीजिये कि की उप सम्ष्टि है या नहीं।

Ques 32.

जाँच कीजिये कि में, जो कोटि 3 य उस से कम वाले बहुपदों की सदिश स्मष्टि है, सदिशों की शमष्टि रैखिकतः स्वतंत्र है।. 

Ques 33.

जाँच कीजिये कि द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है। 

Ques 34.

यदि का एक क्रमित आधार है और इस का संगत द्वैत आधार है तो और निकालिये। 

Ques 35.

खिक रूपांतरण की अष्टि ज्ञात कीजिये, जो ? (?, ?) = (2? + 3?, 2? − 3?) द्वारा परिभाषित है,। 

Ques 36.

उस रैखिक रूपांतरण को वर्णन कीजिये जिस् के लिये

है जहाँ  के मानक आधार है।

Ques 37.

रैखिक रूपांतरण के क्रमित आधार {(0, −1), (−1, 0)} के सापेक्ष आव्यूह निकालिये, जो ? (?, ?) = (2?, ? − ?) द्वारा परिभाषित है,।. 

Ques 38.

मान लीजिये कि A एक 2 x 3 आव्युह है, B एक 3 x 4 आव्यूह है, C एक 3 x 2 आव्यूह है और D एक 3 x 4 आव्यूह है। क्या AB + C^tD परिभाषित है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

Ques 39.

आव्यूह  के लिये कैली-हैल्टन प्रमेय सत्यापित कीजिये। 

Ques 40.

जाँच कीजिये कि  आव्यूह के  आइगेंसदिश है। संगत आईगेमान क्या है?

Ques 41.

मान लीजिये कि C[0, 1] अंतराल [0, 1] पर आंतर गुणन फलन

के सापेक्ष वास्तविक मूल्यों वाले उत्पादों का प्रतिच्छेदन गुणक यौगिक है। आंतर गुणन का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

Ques 42.

रैखिक संकारक ? ∶ ℂ² → ℂ², जो ? (z₁,z₂) = (z₂,z₁ + iz₂)  द्वारा परिभाषित है, का C² पर मानक अंतर गुणन के सापेक्ष संलग्न निकालिये। 

Ques 43.

द्विघाति समघात का चिह्नक इकालिये।

Ques 44.

मान लीजिये कि S कोई भी एक अरिक्त समुच्चय है और V (S), सपर सभी वास्तविक मान वाले फलनों का समुच्चय है। V(S) पर योग (f+g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभषित कीजिये और आदिश गुणन ( f) (x) =  f(x) द्वारा परिभषित कीजिये। जाँच कीजिये कि V (S), +, .) एक सदिश समष्टि है।

Ques 45.

जाँच कीजिये कि B = {1, 2? + 1, (? − 1)2 }, ?₂ के लिये एक आधार है जहाँ पी2 अधिक से अधिक कोटि P² वाले वास्तविक गुणाँक बहुपदों की सदिश समष्टि है।

Ques 46.

मान लीजिये कि ? ∶ ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है ओर क्रमित आधार 

के सापेक्ष उसका आव्यूह  है। क्रमित आधार

 के सापेक्ष T का आव्यूह निकालिये।। 

Ques 47.

दिखाइये कि की एक उपसमष्टि है। की उपस्मष्टि U का आधार भी ज्ञात कीजिये, जो  , को संतुष्ट करती है। 

Ques 48.

आव्यूह  के आइगेमान और आइगेंसदिश ज्ञात कीजिये। क्या यह आव्यूह विकर्णनीय अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

Ques 49.

ज्ञात कीजिये, जहाँ  इस से A^-1 निकालिये। 

Ques 50.

निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रमर नियम से हल कीजिये:

Ques 51.

आव्यूह

की अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात कीजिये।

Ques 52.

मान लीजिये कि व, आईआर पर ऐसे सभी वास्तविक मान वाले फलनों की सदिश समष्टि है जो दो बार अवकलनीय है। जाँच कीजिए कि ऍस पर रैखिकतः स्वतंत्र है। (संकेतः समीकरण

लीजिये।  इत्यादि रखिये और a_i निकालिये।) 

Ques 53.

रैखिक समीकरण टीसीसी³ लीजिये जो

? (?₁ , ?₂ , ?₃) = (?₁ − ??₂ , ??₁ − 2?₂ + ??₃ , −??₂ + ?₃) .

द्वारा परिभषित है।

i) T* परिकलित कीजिये और जाँच कीजिये कि ट स्वसंलग्न है।

ii) जाँच कीजिये कि ट ऐकिक है।

Ques 54.

मान लीजिये कि (?₁ , ?₂ , ?₃) और (y₁, y₂, y₃) आधारों ?₁ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)},, ?₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, के राापेक्ष निर्देशांकों को निरुपित करते हैं। यदि

(?1 , ?2 , ?3) के पदों में Q को निरूपण निकालिये।

Ques 55.

द्विघाति समघात −?2 + ?2 + ?2 + 4?? + 4?z का लाम्बिक विहित समानयन और इस के मुक्य अक्ष निकालिये। 

Ques 56.

निम्न लिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य? अपने उत्तर की एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिये। 

i) यदि W₁ और W₂ एक परिमित विमा, शून्येत्तर सदिश समष्टि V की उपसमष्टियाँ हैं और

ii) यदि V एक सदिश सम्ष्टि है और  एक ऐसा समुच्चय हैजिस में  यदि , तो ऍस एक रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय है।

iii) यदि ?₁ , ?₂ ∶ ? → ? एक परिमित विमा ? और ?1 ∘ ?2 व्युत्क्रमणीय हैं, तो ?2 ∘ ?1 भी वव्युत्क्रमणीय है।

iv) यदि एक ? × ?, ? ≥ 2,, वर्गीय आव्यूह विकर्णनीय है, तो इस के अल्पिष्ट बहुपद और अभिलक्षणिक बहुपद बराबर है।

v) यदि ?1 , ?2 ∶ ? → ? एक परिमित विमा सदिश समष्टि ? पर स्वसंलग्न संकारक है, तो T₁ + T₂ भी स्वसंलग्न है।

Ques 57.

Find the angle between the vectors 

Ques 58.

Find the vector equation of the plane determined by the points (1, 0, −1), (0, 1, 1) and (−1, 1, 0)

Ques 59.

Check whether  is a subspace of ℝ³

Ques 60.

Check whether the set of vectors is a linearly independent set of

vectors in P_{3 ,} the vector space of polynomials of degree ≤ 3.

Ques 61.

Check whetherr  ? ∶ ℝ² → ℝ², defined by ? (?, ?) = (−?, ?) is a linear transformation.

Ques 62.

If {?1 , ?2 } is an ordered basis of  ℝ ² and {?1 (?) , ?2 (?)} is the corresponding dual basis find

Ques 63.

Find the kernel of the linear transformation ? ∶ ℝ² → ℝ² defined by 

Ques 64.

Describe the linear transformation ? ∶ ℝ² → ℝ² such that  where ? is the standard basis of ℝ ²

Ques 65.

Find the matrix of the linear transformation with respect to the ordered basis{(0, −1), (−1, 0)}.

Ques 66.

Let ? be a 2 × 3 matrix, ? be a 3 × 4 matrix and ? be a 3 × 2 matrix and ? be a 3 × 4 matrix. Is ?? + ??? defined? Justify your answer.

Ques 67.

Verify Cayley-Hamilton theorem for the matrix  

Ques 68.

Check whethe    is an eigenvector for the matrix   What is the corresponding eigenvalue?

Ques 69.

Let ?[0, 1] be the inner product space of continous real valued functions on the interval [0, 1] with the inner produc

Find the inner product of the functions   

Ques 70.

Find adjoint of the linear operator ? ∶ ℂ² → ℂ² defined by   respect to the standard inner product on ℂ 2 .

Ques 71.

Find the signature of the quadratic form

Ques 72.

Let ? be any non-empty set and let ? (?) be the set of all real valued functions on ℝ. Define addition on and scalar multiplication by Check thatis a vector space.

Ques 73.

Check that  is a basis for ?² , the vector space of polynomials with real coefficients of degree ≤ 2.

Ques 74.

Let ? ∶ ℝ³ → ℝ³ be a linear operator and suppose the matrix of the operator with respect to the ordered basis

 . Find the matrix of the linear transformation with respect to the basis 

Ques 75.

Find the eigenvalues and eigenvectors of the matrix  Is the matrix diagonalisable? Justify your answer.

Ques 76.

Solve the folowing set of simultaneous equations using Cramer’s rule:

3? + ? + ? = 0

Ques 77.

Find the minimal polynomial of the matrix 

Ques 78.

Let ? be the vector space of all real valued functions that are twice differentiable in ℝ and 

Check that ? is a linearly independent set over ℝ. (Hint: Consider the equation

Ques 79.

Consider the linear operator ? ∶ ℂ³ → ℂ³ , defined by

i) Compute ? ∗ and check whether ? is self-adjoint

ii) Check whether ? is unitary.

Ques 80.

  represent the coordinates with respect to the bases

find the representation of ? in terms of (?1 , ?2 , ?3).

Ques 81.

Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form  Also, find its principal  axes.

Ques 82.

Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counterexample

i) If ?1 and ?₂ are proper subspaces of a non-zero, finite dimensional, vector space ? and

ii) If ? is a vector space and    is such that ?? ≠ ?? if ? ≠ ?, then S

is a linearly independent set 

iii)      ? are linear operators on a finite dimensional vector space ? and ?₁ ∘ ?₂ is invertible, ?₂ ∘ ?₁ is also invertibl 

iv) If an ? × ? square matrix, ? ≥ 2 is diagonalisable then it has the same minimal polynomial and characteristic polynomial

v) If ?₁ , ?₂ ∶ ? → ? are self adjoint operators on a finite dimensional inner product space ?, then ?₁ + ?₂ is also a self adjoint operator.

Ques 83.

बिंदुओं (1,0,-1), (0, 1, 1) और (-1,1,0) द्वारा निर्धारित समतल की सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये ।. 

Ques 84.

जाँच कीजिये कि में, जो कोटि 3 य उस से कम वाले बहुपदों की सदिश स्मष्टि है, सदिशों की शमष्टि  रैखिकतः स्वतंत्र है।. 

Ques 85.

जाँच कीजिये कि  द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है। 

Ques 86.

यदि का एक क्रमित आधार है और  इस का संगत द्वैत आधार है तो  और  निकालिये। 

Ques 87.

 रैखिक रूपांतरण  की अष्टि ज्ञात कीजिये, जो ? (?, ?) = (2? + 3?, 2? − 3?) द्वारा परिभाषित है,। 

Ques 88.

 रैखिक रूपांतरण  के क्रमित आधार {(0, −1), (−1, 0)} के सापेक्ष आव्यूह निकालिये, जो ? (?, ?) = (2?, ? − ?) द्वारा परिभाषित है,।. 

Ques 89.

मान लीजिये कि A एक 2 x 3 आव्युह है, B एक 3 x 4 आव्यूह है, C एक 3 x 2 आव्यूह है और D एक 3 x 4 आव्यूह है। क्या AB + C^tD परिभाषित है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

Ques 90.

जाँच कीजिये कि  आव्यूह के  आइगेंसदिश है। संगत आईगेमान क्या है?

Ques 91.

मान लीजिये कि C[0, 1] अंतराल [0, 1] पर आंतर गुणन फलन

के सापेक्ष वास्तविक मूल्यों वाले उत्पादों का प्रतिच्छेदन गुणक यौगिक है। आंतर गुणन का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

Ques 92.

 रैखिक संकारक ? ∶ ℂ² → ℂ², जो ? (z₁,z₂) = (z₂,z₁ + iz₂)  द्वारा परिभाषित है, का C² पर मानक अंतर गुणन के सापेक्ष संलग्न निकालिये। 

Ques 93.

द्विघाति समघात  का चिह्नक इकालिये।

Ques 94.

मान लीजिये कि S कोई भी एक अरिक्त समुच्चय है और V (S), सपर सभी वास्तविक मान वाले फलनों का समुच्चय है। V(S) पर योग (f+g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभषित कीजिये और आदिश गुणन ( f) (x) =  f(x) द्वारा परिभषित कीजिये। जाँच कीजिये कि V (S), +, .) एक सदिश समष्टि है।

Ques 95.

 जाँच कीजिये कि B = {1, 2? + 1, (? − 1)2 }, ?₂ के लिये एक आधार है जहाँ पी2 अधिक से अधिक कोटि P² वाले वास्तविक गुणाँक बहुपदों की सदिश समष्टि है।

Ques 96.

 मान लीजिये कि ? ∶ ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है ओर क्रमित आधार 

के सापेक्ष उसका आव्यूह  है। क्रमित आधार

 के सापेक्ष T का आव्यूह निकालिये।। 

Ques 97.

 दिखाइये कि  की एक उपसमष्टि है।  की उपस्मष्टि U का आधार भी ज्ञात कीजिये, जो  , को संतुष्ट करती है। 

3) a) आव्यूह  के आइगेमान और आइगेंसदिश ज्ञात कीजिये। क्या यह आव्यूह विकर्णनीय अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

Ques 98.

Adj(A) ज्ञात कीजिये, जहाँ  इस से A^-1 निकालिये। 

4) a) निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रमर नियम से हल कीजिये:

Ques 99.

आव्यूह

की अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात कीजिये।

Ques 100.

1) a) मान लीजिये कि व, आईआर पर ऐसे सभी वास्तविक मान वाले फलनों की सदिश समष्टि है जो दो बार अवकलनीय है। जाँच कीजिए कि ऍस पर रैखिकतः स्वतंत्र है। (संकेतः समीकरण

लीजिये।  इत्यादि रखिये और a_i निकालिये।) 

Ques 101.

 रैखिक समीकरण टीसीसी³ लीजिये जो

? (?₁ , ?₂ , ?₃) = (?₁ − ??₂ , ??₁ − 2?₂ + ??₃ , −??₂ + ?₃) .

द्वारा परिभषित है।

i) T* परिकलित कीजिये और जाँच कीजिये कि ट स्वसंलग्न है।

ii) जाँच कीजिये कि ट ऐकिक है।

Ques 102.

मान लीजिये कि (?₁ , ?₂ , ?₃) और (y₁, y₂, y₃) आधारों ?₁ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)},, ?₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, के राापेक्ष निर्देशांकों को निरुपित करते हैं। यदि

(?1 , ?2 , ?3) के पदों में Q को निरूपण निकालिये।

Ques 103.

द्विघाति समघात −?2 + ?2 + ?2 + 4?? + 4?z का लाम्बिक विहित समानयन और इस के मुक्य अक्ष निकालिये। 

Ques 104.

 निम्न लिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य? अपने उत्तर की एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिये। 

i) यदि W₁ और W₂ एक परिमित विमा, शून्येत्तर सदिश समष्टि V की उपसमष्टियाँ हैं और

Ques 105.

यदि V एक सदिश सम्ष्टि है और  एक ऐसा समुच्चय हैजिस में  यदि , तो ऍस एक रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय है।

Ques 106.

यदि ?₁ , ?₂ ∶ ? → ? एक परिमित विमा ? और ?1 ∘ ?2 व्युत्क्रमणीय हैं, तो ?2 ∘ ?1 भी वव्युत्क्रमणीय है।

Ques 107.

यदि एक ? × ?, ? ≥ 2,, वर्गीय आव्यूह विकर्णनीय है, तो इस के अल्पिष्ट बहुपद और अभिलक्षणिक बहुपद बराबर है।

Ques 108.

यदि ?1 , ?2 ∶ ? → ? एक परिमित विमा सदिश समष्टि ? पर स्वसंलग्न संकारक है, तो T₁ + T₂ भी स्वसंलग्न है।

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