IGNOU BMTC 133 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।

(i)  का निषेध  है।
(ii)  गणनीय हैं।
(iii) समीकरण  का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन   में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी  अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा  पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम  पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन  जो  द्वारा परिभाषित है,  पर अवकलनीय है।

Ques 2.

गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल  होता है। 

Ques 3.

सीमाओं पर कौशी का द्वितीय प्रमेय लिखिए। इसे यह प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग कीजिए कि  हो। 

Ques 4.

जाँच कीजिए कि अनुक्रम , जिसे इस प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
, और .
अभिसारी है या नहीं। 

Ques 5.

श्रेणी  के अभिसरण की जाँच कीजिए।

Ques 6.

श्रेणी , की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए। जहाँ  है। 

Ques 7.

सिद्ध कीजिए कि यह समुच्चय  संवृत नहीं है।

Ques 8.

दिखाइए कि फलन , जो  द्वारा परिभाषित है, अपने प्रांत पर सतत है, परंतु वहाँ समान रूप से सतत नहीं है। क्या यह फलन किसी भी निश्चित c > 0 के लिए अंतराल  पर एकसमान सतत होगा? 

Ques 9.

फलन f की  पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
  है। 

Ques 10.

 जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय विवृत हैं या संवृत हैं अथवा न तो विवृत हैं और न ही संवृत।

i. 

ii.  

Ques 11.

मान लीजिए कि f तथा g, R[a, b] में हैं। तब दिखाइए कि फलन f + g भी R[a, b] में हैं, तथा . 

Ques 12.

समाकल परीक्षण का प्रयोग करके  p − श्रेणी  , जहाँ p > 0, के अभिसरण पर चर्चा कीजिए। 

Ques 13.

सिद्ध कीजिए कि , जहाँ x अंतराल  में है। 

Ques 14.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कौशी होता है। 

Ques 15.

उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए: 

प्रत्येक  तथा  के लिए  है।

Ques 16.

बोलजनों-वेयरस्ट्रास प्रमेय लिखिए। इसका प्रयोग करके जाँच कीजिए कि समुच्चय  का कोई सीमा-बिंदु है या नहीं। 

Ques 17.

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए एक - एक उदाहरण दीजिए। अपने उत्तर का कारण बताइए।

i. एक ऐसा समुच्चय जो न तो विवृत है और न संवृत है।

ii. एक ऐसा समुच्चय जिसका कोई सीमा बिंदु नहीं है। 

Ques 18.

जाँच कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है या नहीं। 

Ques 19.

मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है, जिसका अवकलज अंतराल [a, b] पर शून्य नहीं होता। तब दिखाइए कि f या तो सर्वथा वर्धमान है अथवा सर्वथा ह्रासमान है। 

Ques 20.

 यदि अनंत श्रेणी  अभिसारी है, तो दिखाइए कि  होती है। 

Ques 21.

State whether the following statements are true or false. Justify your answers with a short proof or a counterexample. 
i) The negation of  is .
ii)  is countable.
iii) The equation  has a real root between -2 and 1.
iv) Every increasing sequence has a convergent subsequence.
v) The function defined as

has a removable discontinuity.
vi) An integrable function can have finitely many points of discontinuity.
vii) The series  is divergent.
viii) The function f defined by , has local maximum at .
ix) Every constant function on [a, b] is Riemann Integrable.
x) The function  defined by  is differentiable at .

Ques 22.

Using mathematical induction, prove that the sum of the squares of first 'n' natural numbers is .

Ques 23.

State Cauchy’s second theorem on limits. Use it to show that:

Ques 24.

Check whether or not the sequence , defined by:

and  is convergent.

Ques 25.

Test the convergence of the series: .

Ques 26.

Find the radius of convergence of the series , where .

Ques 27.

Show that the set:

is not closed.

Ques 28.

Show that the function  defined as  is continuous on its domain, but not uniformly continuous there. Will the function be uniformly continuous on  for any fixed c > 0?

Ques 29.

Examine the type of discontinuity of the function at  where

Ques 30.

Check whether the following sets are open or closed or neither:

(i) 

(ii) 

Ques 31.

 Suppose that f and g are in R[a, b]. Then show that the function f + g is in R[a, b], and

Ques 32.

Discuss the convergence of the p-series  by using the integral test.

Ques 33.

 Prove that .

Ques 34.

Prove that every convergent sequence is Cauchy.

Ques 35.

Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

Ques 36.

State Bolzano-Weierstrass theorem. Use it to check whether the set:

has a limit point.

Ques 37.

Give one example for each of the following. Justify.
(i) A set which is neither open or closed.
(ii) A set which has no limit point.

Ques 38.

Check whether the set of integers is countable or not.

Ques 39.

 Let f be a differentiable function whose derivative never vanishes on [a, b]. Show that f is either strictly increasing or strictly decreasing.

Ques 40.

 If an infinite series  converges, then show that .

Ques 41.

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।

(i)  का निषेध  है।
(ii)  गणनीय हैं।
(iii) समीकरण  का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन   में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी  अपसारी है।
(viii) फलन f, जो , द्वारा परिभाषित है तथा  पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम  पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन  जो  द्वारा परिभाषित है,  पर अवकलनीय है।

Ques 42.

गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल  होता है। 

Ques 43.

सीमाओं पर कौशी का द्वितीय प्रमेय लिखिए। इसे यह प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग कीजिए कि  हो। 

Ques 44.

जाँच कीजिए कि अनुक्रम , जिसे इस प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
, और .
अभिसारी है या नहीं। 

Ques 45.

श्रेणी  के अभिसरण की जाँच कीजिए।

Ques 46.

श्रेणी , की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए। जहाँ  है। 

Ques 47.

सिद्ध कीजिए कि यह समुच्चय  संवृत नहीं है।

Ques 48.

दिखाइए कि फलन , जो  द्वारा परिभाषित है, अपने प्रांत पर सतत है, परंतु वहाँ समान रूप से सतत नहीं है। क्या यह फलन किसी भी निश्चित c > 0 के लिए अंतराल  पर एकसमान सतत होगा? 

Ques 49.

फलन f की  पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
  है। 

Ques 50.

 जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय विवृत हैं या संवृत हैं अथवा न तो विवृत हैं और न ही संवृत।

i. 

ii.  

Ques 51.

मान लीजिए कि f तथा g, R[a, b] में हैं। तब दिखाइए कि फलन f + g भी R[a, b] में हैं, तथा . 

Ques 52.

समाकल परीक्षण का प्रयोग करके  p − श्रेणी  , जहाँ p > 0, के अभिसरण पर चर्चा कीजिए। 

Ques 53.

सिद्ध कीजिए कि , जहाँ x अंतराल  में है। 

Ques 54.

सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक अभिसारी अनुक्रम कौशी होता है। 

Ques 55.

उपयुक्त प्रति उदाहरण देकर इस कथन को असिद्ध कीजिए: 

प्रत्येक  तथा  के लिए  है।

Ques 56.

बोलजनों-वेयरस्ट्रास प्रमेय लिखिए। इसका प्रयोग करके जाँच कीजिए कि समुच्चय  का कोई सीमा-बिंदु है या नहीं। 

Ques 57.

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए एक - एक उदाहरण दीजिए। अपने उत्तर का कारण बताइए।

i. एक ऐसा समुच्चय जो न तो विवृत है और न संवृत है।

ii. एक ऐसा समुच्चय जिसका कोई सीमा बिंदु नहीं है। 

Ques 58.

जाँच कीजिए कि पूर्णांकों का समुच्चय गणनीय है या नहीं। 

Ques 59.

मान लीजिए कि f एक अवकलनीय फलन है, जिसका अवकलज अंतराल [a, b] पर शून्य नहीं होता। तब दिखाइए कि f या तो सर्वथा वर्धमान है अथवा सर्वथा ह्रासमान है। 

Ques 60.

 यदि अनंत श्रेणी  अभिसारी है, तो दिखाइए कि  होती है। 

Ques 61.

State whether the following statements are true or false. Justify your answers with a short proof or a counterexample. 
i) The negation of  is .
ii)  is countable.
iii) The equation  has a real root between -2 and 1.
iv) Every increasing sequence has a convergent subsequence.
v) The function defined as

has a removable discontinuity.
vi) An integrable function can have finitely many points of discontinuity.
vii) The series  is divergent.
viii) The function f defined by , has local maximum at .
ix) Every constant function on [a, b] is Riemann Integrable.
x) The function  defined by  is differentiable at .

Ques 62.

Using mathematical induction, prove that the sum of the squares of first 'n' natural numbers is .

Ques 63.

State Cauchy’s second theorem on limits. Use it to show that:

Ques 64.

Check whether or not the sequence , defined by:

and  is convergent.

Ques 65.

Test the convergence of the series: .

Ques 66.

Find the radius of convergence of the series , where .

Ques 67.

Show that the set:

is not closed.

Ques 68.

Show that the function  defined as  is continuous on its domain, but not uniformly continuous there. Will the function be uniformly continuous on  for any fixed c > 0?

Ques 69.

Examine the type of discontinuity of the function at  where

Ques 70.

Check whether the following sets are open or closed or neither:

(i) 

(ii) 

Ques 71.

 Suppose that f and g are in R[a, b]. Then show that the function f + g is in R[a, b], and

Ques 72.

Discuss the convergence of the p-series  by using the integral test.

Ques 73.

 Prove that .

Ques 74.

Prove that every convergent sequence is Cauchy.

Ques 75.

Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

Ques 76.

State Bolzano-Weierstrass theorem. Use it to check whether the set:

has a limit point.

Ques 77.

Give one example for each of the following. Justify.
(i) A set which is neither open or closed.
(ii) A set which has no limit point.

Ques 78.

Check whether the set of integers is countable or not.

Ques 79.

 Let f be a differentiable function whose derivative never vanishes on [a, b]. Show that f is either strictly increasing or strictly decreasing.

Ques 80.

 If an infinite series  converges, then show that .

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