IGNOU BMTC 133 SOLVED ASSIGNMENT 2025

Ques 1.

Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answers in the form of a short proof or counter-example, whichever is appropriate:

i) Every infinite set is an open set.

ii) The negation of p^~qis p→q.

iii) -1 is a limit point of the interval ]-2,1].

iv) The necessary condition for a function f to be integrable is that it is continuous.

The function f: R→R defined by f(x) = |x-2|+|3-x is differentiable at x = 5.

Ques 2.

Test the following series for convergence.

(i)  

(ii) 

Ques 3.

Prove that the sequence (a_n)_n∈N, where a_n = 3² / x² + 2^{2 ,} is Cauchy.

Ques 4.

Show that the set:

is not closed.

Ques 5.

Test the following series for convergence:

Ques 6.

Prove that a function f : S → S (where S is a finite non-empty set) is injective if it is surjective.

Ques 7.

Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

Ques 8.

Find the supremum and infimum of the set:

Ques 9.

Show that [a,∞)is closed set.

b) Write the following statement, and its negation, using logical quantifiers. Also interpret its negation in words.

∃ x∈R such that x-1/3 > 0.

Ques 10.

Let x and y be two real numbers such that x < y.Show that there exists an irrational number λ such that

x < λ < y.

Ques 11.

Prove that between any two real roots of ,2 e cos2x = x there is at least one real root of e^x sin 2x = 1.

Ques 12.

Let f : R → R be a function defined by:

Check whether f ′ is continuous on R.

Ques 13.

Apply the Cauchy’s integral test to evaluate:

Ques 14.

For x∈ ]2,0[ and n∈N, define f_n (x) = 3 x² + 2x/n. Find the limit function ' f ' of the sequence (f_n ) _n∈N , Is f continuous? Check if  and  are equal or not.

Ques 15.

Find the radius of convergence of the series .

Ques 16.

Check whether f is uniformly continuous on [− ]1,1 or not.

Ques 17.

Show that 

Ques 18.

Show that the sequence {f_n}of functions, where 

is uniformly convergent in ,0[ k],where k > .0 Show further that } { n f is not uniformly convergent in ,0[ ∞[.

Ques 19.

Evaluate  using Riemann integration.

10. a) Find the value/s of x for which the series 

is convergent.

Ques 20.

A sequence which is divergent.

Ques 21.

A set which is neither open nor closed.

Ques 22.

A compact set.

Ques 23.

A set which has no limit point

Ques 24.

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं या असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :

i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।

ii) का निषेध  है।

iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।

iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।

v) द्वारा परिभाषित फलन पर अवकलनीय है।

Ques 25.

निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण की जाँच कीजिए :

(i)  

(ii)  

Ques 26.

कॉशी अनुक्रम को परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम  , जहाँ    कॉशी है।

Ques 27.

दिखाइए कि समुच्चय :

विवृत नहीं है।

Ques 28.

निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए :

Ques 29.

सिद्ध कीजिए कि फलन फ: ऍस ऍस (जहाँ S परिमित अरिक्त समुच्चय है) एकैकी है, यदि यह आच्छादी है।

Ques 30.

एक उचित प्रति-उदाहरण देते हुए निम्नलिखित कथन को असिद्ध कीजिए :

Ques 31.

समुच्चय का उच्चक और निम्नक ज्ञात कीजिए।

Ques 32.

दिखाइए कि प्रत्येक [a,∞) एक विवृत समुच्चय है।

Ques 33.

निम्नलिखित कथन तथा उनके निषेध को तर्कसंगत प्रमात्रकों का प्रयोग करते हुए आप किस प्रकार प्रस्तुत करेंगे? निषेध को शब्दों में भी दीजिए।

Ques 34.

मान लीजिए कि ऍक्स और वाइ दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि x < y है। ऐसी एक अपरिमेय संख्या मालूम कीजिए जिस के लिए निम्नलिखित होता है।

x <  < y

Ques 35.

सिद्ध कीजिए कि e^x cos2x = 2 के किन्हीं दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin2x = 1 का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

Ques 36.

मान लीजिए

द्वारा परिभाषित फलन है। दिखाइए कि  पर संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

Ques 37.

कॉशी समाकल परीक्षण द्वारा निम्नलिखित मूल्यांकन कीजिए :

Ques 38.

समुच्चय x∈ [0,2] और n∈ , के लिए  लीजिए। अनुक्रम का ॲन् सीमा फलन 'f' ज्ञात कीजिए। क्या f संतत है? जाँच कीजिए कि और समान हैं या नहीं। 

Ques 39.

त्रिज्या    जहाँ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए I

Ques 40.

मान लीजिए   

जाँच की f, [-1,1] पर एकसमान सांतत्य है या नहीं।

Ques 41.

सिद्ध कीजिए :

Ques 42.

सिद्ध कीजिए कि फलनों का अनुक्रम {f_n} जहाँ

Ques 43.

पर एकसमानतः अभिसरित है जहाँ k> 0 है। आगे सिद्ध कीजिए कि {f_n}, [0,∞ [ पर एकसमानतः अभिसरित नहीं है।

Ques 44.

रीमान समाकलन से परिकलित कीजिए। 

Ques 45.

ऍक्स के वे मान ज्ञात कीजिए जिन के लिए श्रेणी

अभिसरित होती है।

Ques 46.

एक अनुक्रम जो अपसारी है।

Ques 47.

एक समुच्चय जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है।

Ques 48.

संहत समुच्चय I

Ques 49.

एक समुच्चय जिसका कोई सीमा बिन्दु नहीं है।

Ques 50.

 Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answers in the form of a short proof or counter-example, whichever is appropriate:

i) Every infinite set is an open set.

ii) The negation of p^~qis p→q.

iii) -1 is a limit point of the interval ]-2,1].

iv) The necessary condition for a function f to be integrable is that it is continuous.

The function f: R→R defined by f(x) = |x-2|+|3-x is differentiable at x = 5.

Ques 51.

Test the following series for convergence.

(i)  

(ii) 

Ques 52.

 Prove that the sequence (a_n)_n∈N, where a_n = 3² / x² + 2^{2 ,} is Cauchy.

Ques 53.

 Show that the set:

is not closed.

Ques 54.

Test the following series for convergence:

Ques 55.

 Prove that a function f : S → S (where S is a finite non-empty set) is injective if it is surjective.

Ques 56.

Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

Ques 57.

Find the supremum and infimum of the set:

Ques 58.

 Show that [a,∞)is closed set.

Ques 59.

Write the following statement, and its negation, using logical quantifiers. Also interpret its negation in words.

∃ x∈R such that x-1/3 > 0.

Ques 60.

Let x and y be two real numbers such that x < y.Show that there exists an irrational number λ such that

x < λ < y.

Ques 61.

 Prove that between any two real roots of ,2 e cos2x = x there is at least one real root of e^x sin

Ques 62.

Let f : R → R be a function defined by:

Check whether f ′ is continuous on R.

Ques 63.

Apply the Cauchy’s integral test to evaluate:

Ques 64.

For x∈ ]2,0[ and n∈N, define f_n (x) = 3 x² + 2x/n. Find the limit function ' f ' of the sequence (f_n ) _n∈N , Is f continuous? Check if  and  are equal or not.

Ques 65.

 Find the radius of convergence of the series .

Ques 66.

Check whether f is uniformly continuous on [− ]1,1 or not.

Ques 67.

Show that 

Ques 68.

Show that the sequence {f_n}of functions, where 

is uniformly convergent in ,0[ k],where k > .0 Show further that } { n f is not uniformly convergent in ,0[ ∞[.

Ques 69.

Evaluate  using Riemann integration

Ques 70.

Find the value/s of x for which the series 

is convergent.

Ques 71.

Give one example each for the following. Justify your choice of examples.

i) A sequence which is divergent.

ii) A set which is neither open nor closed.

iii) A compact set.

iv) A set which has no limit point

Ques 72.

 उपपत्ति या प्रति-उदाहरण जो भी उचित हो, के साथ अपने उत्तरों के कारण बताइए :

i) प्रत्येक अनंत समुच्चय एक विस्तारित समुच्चय है।

ii)  का निषेध  है।

iii) - 1 अन्तराल ]-2,1] का सीमा बिन्दु है।

iv) फलन f के समाकलनीय होने के अनिवार्य प्रतिबंध है कि वह संतत हो।

v)  द्वारा परिभाषित फलन  पर अवकलनीय है।

Ques 73.

 निम्नलिखित श्रेणियों के अभिसरण की जाँच कीजिए :

(i)  

(ii)  

Ques 74.

 कॉशी अनुक्रम को परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम  , जहाँ    कॉशी है।

Ques 75.

दिखाइए कि समुच्चय :

विवृत नहीं है।

Ques 76.

 निम्नलिखित श्रेणी के अभिसरण की जाँच कीजिए :

Ques 77.

सिद्ध कीजिए कि फलन फ: ऍस ऍस (जहाँ S परिमित अरिक्त समुच्चय है) एकैकी है, यदि यह आच्छादी है।

Ques 78.

 एक उचित प्रति-उदाहरण देते हुए निम्नलिखित कथन को असिद्ध कीजिए :

ग) समुच्चय  का उच्चक और निम्नक ज्ञात कीजिए।

Ques 79.

दिखाइए कि प्रत्येक [a,∞) एक विवृत समुच्चय है।

Ques 80.

निम्नलिखित कथन तथा उनके निषेध को तर्कसंगत प्रमात्रकों का प्रयोग करते हुए आप किस प्रकार प्रस्तुत करेंगे? निषेध को शब्दों में भी दीजिए।

Ques 81.

मान लीजिए कि ऍक्स और वाइ दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि x < y है। ऐसी एक अपरिमेय संख्या  मालूम कीजिए जिस के लिए निम्नलिखित होता है।

x <  < y

Ques 82.

सिद्ध कीजिए कि e^x cos2x = 2 के किन्हीं दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin2x = 1 का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

ख) मान लीजिए 

द्वारा परिभाषित फलन है। दिखाइए कि  पर संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

Ques 83.

 कॉशी समाकल परीक्षण द्वारा निम्नलिखित मूल्यांकन कीजिए :

Ques 84.

) समुच्चय x∈ [0,2] और n∈ , के लिए  लीजिए। अनुक्रम  का ॲन् सीमा फलन 'f' ज्ञात कीजिए। क्या f संतत है? जाँच कीजिए कि  और  समान हैं या नहीं। 

Ques 85.

 त्रिज्या    जहाँ  की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए I

Ques 86.

) मान लीजिए   

जाँच की f, [-1,1] पर एकसमान सांतत्य है या नहीं।

Ques 87.

सिद्ध कीजिए :

Ques 88.

सिद्ध कीजिए कि फलनों का अनुक्रम {f_n} जहाँ

Ques 89.

रीमान समाकलन से  परिकलित कीजिए।

Ques 90.

 ऍक्स के वे मान ज्ञात कीजिए जिन के लिए श्रेणी

अभिसरित होती है।

Ques 91.

) निम्नलिखित के एक-एक उदाहरण दीजिए। अपने चयन की पुष्टि कीजिए।

i) एक अनुक्रम जो अपसारी है।

ii) एक समुच्चय जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है।

iii) संहत समुच्चय I

iv) एक समुच्चय जिसका कोई सीमा बिन्दु नहीं है।

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