IGNOU BMTC 131 SOLVED ASSIGNMENT 2025

Ques 1.

Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answer in the form of a short proof or a counter-example, whichever is appropriate.

a) The set {S∈ R: x²-3x+2=0} is an infinite set.

b) The greatest interger function is continuous on R.

c) 

d) Every integrable function is monotonic.

e) defines a binary operation on Q, the set of rational numbers.

Ques 2.

Find the domain of the function f given by 

Ques 3.

The set R of real numbers with the usual addition (+) and usual multiplication (+) is given. Define (*) on R as:

Is (*) associative in R? Is (.) distributive (*) in R? Check.

Ques 4.

If z-1+2i|= 4, show that the point z+ i describes a circle. Also draw this circle.

Ques 5.

Express     as a sum of partial fractions.

Ques 6.

a) Find the least value of a² sec² x + b² cosec²x, where a>0,b>0.

b) Evaluate:

c) For any two sets S and T, show that:

Depict this situation in the Venn diagram.

Ques 7.

Let f and g be two functions defined on R by:

f(x) = x³-x²-8x+12

and

i) Find the value of a for which f is continuous at x = -3.

ii) Find all the roots of f(x) = 0.

Ques 8.

Find the area between the curve y²(4-x) = x³ and its asymptote parallel to y-axis.

Ques 9.

If the revenue function is given by dR /dx 15+2x-x², x being the input, find the maximum revenue. Also find the revenue function R, if the initial revenue is 0.

Ques 10.

Trace the curve y²(x+1)=x²(3-x), clearly stating all the properties used for tracing it.

Ques 11.

Find the length of the cycloid and show that the line  divides it in the ratio 1: 3. 

Ques 12.

Find the condition for the curves, ax² + by² =1 and a'x² + b'y² = 1 intersecting orthogonally.

Ques 13.

If y = e™ sin-¹ x, then show that (1-x²)y₂-xy, -m²y = 0. Hence using Leibnitz's formula, find the value of (1-x²)y_n+2-(2n+1)xy _n+1

Ques 14.

Find the largest subset of R on which the function f: R→R defined as:

is continuous.

Ques 15.

Solve the equation:

x² +15x³ +70x²+120x+64=0

given that its roots are in G.P.

Ques 16.

Evaluate:

Ques 17.

a) If , show that:

(m+1)I_^m,n = x^m+l (log x)" -nI_m, n-1.

Hence find the value of fx²(logx)³dx.

Ques 18.

Verigy Lagrange's mean value theorem for the function f defined by

f(x) = 2x²-7x-10over [2, 5].

Ques 19.

निम्नलिखित कथनों में से कथन सत्य और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर के पक्ष में एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रति-उदाहरण दीजिए।

a) समुच्चय S ∈ R : x² - 3x + 2 = 0} एक अपरिमित समुच्चय है।

b) अधिकतम पूर्णांक फलन, R पर सतत् होता है।

c)  

d) प्रत्येक समाकलनीय फलन एकदिष्ट होता है।

e) परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q, पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

Ques 20.

द्वारा परिभाषित फलन एफ का प्रांत ज्ञात कीजिए।

Ques 21.

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R और उस पर सामान्य जोड़ (+) तथा सामान्य गुणनफल

 दिए गये हैं। (*), R पर निम्नलिखित से परिभाषित है :

क्या (*), R सहयोगी है? क्या (.), आर में (*) पर वितरित है? जाँच कीजिए।

Ques 22.

यदि है, तो दर्शाइए कि बिन्दु z + i एक वृत्त निरूपित करता है। इस वृत्त को खींचिए।

Ques 23.

  को आंशिक भिन्नों के योग में व्यक्त कीजिए।

Ques 24.

, जहाँ  हैं, का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

Ques 25.

  का मान ज्ञात कीजिए।

Ques 26.

दो समुच्चयों S और T के लिए दर्शाइए किः

है। वेन आरेख में भी स्थिति दर्शाइए।

Ques 27.

R पर f(x) = x³ -x² -8x +12 और

और

द्वारा परिभाषित दो फलन f और g लीजिए।

i) का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए f , x = -3 पर सतत् है।

ii) f(x) = 0 के सभी मूल ज्ञात कीजिए।

Ques 28.

वक्र y² (4-x) = x³ और इसकी y-अक्ष के समांतर अनंतस्पर्शी के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Ques 29.

डॉ यदि एक आय फलन  द्वारा दिया गया है, जहाँ x निवेश है, तो अधिकतम आय ज्ञात कीजिए। यदि प्रारम्भिक आय 0 है, तो आय फलन R भी ज्ञात कीजिए।

Ques 30.

वक्र y²(x+1) = x²(3 - x) का आरेखण कीजिए और ऐसा करने के लिए प्रयोग किए गये गुणधर्म भी लिखिए।

Ques 31.

चक्रज की लम्बाई ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि रेखा  इसे 1:3 के अनुपात में विभक्त करती है।

Ques 32.

वह प्रतिबंध ज्ञात कीजिए कि वक्र ax² + by² = 1 और a'x² + b'y² = 1 एक-दूसरे को लम्बवत् प्रतिच्छेद करते हैं।

Ques 33.

यदि y = e^m sin^-1 x है, तो दर्शाइए कि है। इस प्रकार लाइब्नित्ज के सूत्र का प्रयोग करके का मान निकालिए। न+ल

Ques 34.

)  द्वारा परिभाषित R फलन f: R → R के जिस भी सबसे बड़े समुच्चय पर सतत् है वह निकालिए।

Ques 35.

समीकरण x⁴ + 15x³ +70x² + 120x + 64 = 0 हल कीजिए, जिसके सभी मूल G.P. में हैं

Ques 36.

  ज्ञात कीजिए।

Ques 37.

यदि , है, तो दर्शाइए कि :

है। इस प्रकार ज्ञात कीजिए।

Ques 38.

f(x) = 2x² - 7x -10 द्वारा परिभाषित फलन f के लिए अंतराल [2, 5] पर लैग्रांज माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए।

Ques 39.

Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answer in the form of a short proof or a counter-example, whichever is appropriate.

Ques 40.

The set {S∈ R: x²-3x+2=0} is an infinite set.

Ques 41.

The greatest interger function is continuous on R.

c) 

Ques 42.

Every integrable function is monotonic.

Ques 43.

  defines a binary operation on Q, the set of rational numbers.

Ques 44.

 Find the domain of the function f given by 

Ques 45.

The set R of real numbers with the usual addition (+) and usual multiplication (+) is given. Define () on R as:

Is () associative in R? Is (.) distributive () in R? Check.

Ques 46.

If z-1+2i|= 4, show that the point z+ i describes a circle. Also draw this circle.

Ques 47.

 Express     as a sum of partial fractions.

Ques 48.

 Find the least value of a² sec² x + b² cosec²x, where a>0,b>0.

b) Evaluate:

Ques 49.

 For any two sets S and T, show that:

Depict this situation in the Venn diagram.

Ques 50.

Let f and g be two functions defined on R by:

f(x) = x³-x²-8x+12

and

Ques 51.

 Find the value of a for which f is continuous at x = -3.

Ques 52.

 Find the value of a for which f is continuous at x = -3.

Ques 53.

Find all the roots of f(x) = 0.

Ques 54.

Find the area between the curve y²(4-x) = x³ and its asymptote parallel to y-axis.

Ques 55.

 If the revenue function is given by dR /dx 15+2x-x², x being the input, find the maximum revenue. Also find the revenue function R, if the initial revenue is 0.

Ques 56.

Trace the curve y²(x+1)=x²(3-x), clearly stating all the properties used for tracing it.

Ques 57.

Find the length of the cycloid  and show that the line  divides it in the ratio 1: 3. 

Ques 58.

 Find the condition for the curves, ax² + by² =1 and a'x² + b'y² = 1 intersecting orthogonally.

Ques 59.

 If y = e™ sin-¹ x, then show that (1-x²)y₂-xy, -m²y = 0. Hence using Leibnitz's formula, find the value of (1-x²)y_n+2-(2n+1)xy _n+1

Ques 60.

Find the largest subset of R on which the function f: R→R defined as:

is continuous.

Ques 61.

Solve the equation:

x² +15x³ +70x²+120x+64=0

given that its roots are in G.P.

b) Evaluate:

Ques 62.

If , show that:

(m+1)I_^m,n = x^m+l (log x)" -nI_m, n-1.

Hence find the value of fx²(logx)³dx.

Ques 63.

Verigy Lagrange's mean value theorem for the function f defined by

f(x) = 2x²-7x-10over [2, 5].

Ques 64.

निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर के पक्ष में एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रति-उदाहरण दीजिए।

a) समुच्चय S ∈ R : x² - 3x + 2 = 0} एक अपरिमित समुच्चय है।

b) अधिकतम पूर्णांक फलन, R पर सतत् होता है।

c)  

d) प्रत्येक समाकलनीय फलन एकदिष्ट होता है।

e)  परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q, पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

Ques 65.

  द्वारा परिभाषित फलन एफ का प्रांत ज्ञात कीजिए।

Ques 66.

 वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R और उस पर सामान्य जोड़ (+) तथा सामान्य गुणनफल

Ques 67.

दिए गये हैं। (), R पर निम्नलिखित से परिभाषित है :

क्या (), R सहयोगी है? क्या (.), आर में () पर वितरित है? जाँच कीजिए।

Ques 68.

यदि  है, तो दर्शाइए कि बिन्दु z + i एक वृत्त निरूपित करता है। इस वृत्त को खींचिए।

b)  को आंशिक भिन्नों के योग में व्यक्त कीजिए।

Ques 69.

 , जहाँ  हैं, का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

Ques 70.

  का मान ज्ञात कीजिए।

Ques 71.

दो समुच्चयों S और T के लिए दर्शाइए किः

है। वेन आरेख में भी स्थिति दर्शाइए।

Ques 72.

R पर f(x) = x³ -x² -8x +12 और

और 

द्वारा परिभाषित दो फलन f और g लीजिए।

Ques 73.

  का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए f , x = -3 पर सतत् है।

Ques 74.

 f(x) = 0 के सभी मूल ज्ञात कीजिए।

Ques 75.

वक्र y² (4-x) = x³ और इसकी y-अक्ष के समांतर अनंतस्पर्शी के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Ques 76.

 डॉ यदि एक आय फलन  द्वारा दिया गया है, जहाँ x निवेश है, तो अधिकतम आय ज्ञात कीजिए। यदि प्रारम्भिक आय 0 है, तो आय फलन R भी ज्ञात कीजिए।

Ques 77.

वक्र y²(x+1) = x²(3 - x) का आरेखण कीजिए और ऐसा करने के लिए प्रयोग किए गये गुणधर्म भी लिखिए।

Ques 78.

चक्रज  की लम्बाई ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि रेखा  इसे 1:3 के अनुपात में विभक्त करती है।

Ques 79.

 वह प्रतिबंध ज्ञात कीजिए कि वक्र ax² + by² = 1 और a'x² + b'y² = 1 एक-दूसरे को लम्बवत् प्रतिच्छेद करते हैं।

Ques 80.

यदि y = e^m sin^-1 x है, तो दर्शाइए कि  है। इस प्रकार लाइब्नित्ज के सूत्र का प्रयोग करके  का मान निकालिए। न+ल

Ques 81.

 द्वारा परिभाषित R फलन f: R → R के जिस भी सबसे बड़े समुच्चय पर सतत् है वह निकालिए।

Ques 82.

 द्वारा परिभाषित R फलन f: R → R के जिस भी सबसे बड़े समुच्चय पर सतत् है वह निकालिए।

Ques 83.

समीकरण x⁴ + 15x³ +70x² + 120x + 64 = 0 हल कीजिए, जिसके सभी मूल G.P. में हैं

Ques 84.

  ज्ञात कीजिए।

Ques 85.

यदि , है, तो दर्शाइए कि :

है। इस प्रकार  ज्ञात कीजिए।

Ques 86.

 f(x) = 2x² - 7x -10 द्वारा परिभाषित फलन f के लिए अंतराल [2, 5] पर लैग्रांज माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए।

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