IGNOU BMTC 103 SOLVED ASSIGNMENT HINDI

Ques 1.

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x² + y² - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii)  से  पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S₆⁴ है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv)  है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम  का जनक फलन (1 - z)^-2 है।
viii) यदि  का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम  का जनक फलन है, जहाँ सभी  के लिए  है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q₁₀⁵ है।
x) समीकरण  के धन पूर्णांक हलों की संख्या  है।

Ques 2.

कथनों '2+3=5' और 'सूरज पश्चिम में उगता है।' पर विचार कीजिए। 

i) कथनों का वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

ii) कथनों का योग लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

iii) कथनों का अपवर्जी वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

Ques 3.

यदि p और q कोई भी कथन हैं, तो दर्शाइए कि कथन  एक सर्वसत्य कथन है। 

Ques 4.

 4 लाल और 8 हरी गेंदों वाले एक बस्ते से 2 हरी और 3 लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता क्या है ? 

Ques 5.

 निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन का विलोम लिखिए: 

i) यदि p एक अभाज्य संख्या है, और a और b दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और p, a या b  को विभाजित करता है , तो p, ab को विभाजित करता है।

ii) एक त्रिभुज  में, यदि  है, तो  होगा।

Ques 6.

 यदि पुनरावृत्ति संबंध  का हल  है , तो  और f(n) के मान ज्ञात कीजिए। 

Ques 7.

एक बैंक आपको 4.5% प्रति वर्ष ब्याज देता है। इसके अतिरिक्त, (ब्याज के भुगतान के बाद) आपको वर्ष के अंत में 100/- रुपए का बोनस मिलता है। यदि आपने 2000 रुपए निवेश किए हैं तो आपको n वर्ष के उपरांत मिलने वाली धनराशि के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध बनाइए। 

Ques 8.

यदि 2 सेमी. भुजा वाले एक वर्ग में 5 बिंदु चुने जाते हैं, तो दिखाइए कि इनमें से दो बिंदु ऐसे हमेशा होंगे जिनके बीच की दूरी अधिकतम  सेमी. होगी। 

Ques 9.

एक पासा दो बार फेंका जाता है, और उस पर आने वाली संख्याओं के योगफल का अवलोकन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि यह योगफल या तो एक पूर्ण वर्ग है या एक पूर्ण घन है? 

Ques 10.

 एक ऐसी कलन-विधि लिखिए जो किन्हीं दो दी हुई संख्याओं p और q, जहाँ , के बीच के सभी विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल ज्ञात करती है। 

Ques 11.

किन्हीं भी प्राकृतिक संख्याओं n और k के लिए, सिद्ध कीजिए कि  होता है। 

Ques 12.

व्यंजक  को सर्वनिष्ठ प्रसामान्य समघात और सम्मिलन प्रसामान्य समघात के रूप में लिखिए। 

Ques 13.

अचर गुणांकों वाले एक रैखिक समघात पुनरावृत्ति संबंध का व्यापक हल ज्ञात कीजिए जिसके अभिलक्षणिक मूल 4, -2 और 3 हैं, और बहुकताएँ क्रमशः 2, 1, और 3 हैं। संबंध का एक असमघात भाग भी है जो 3ⁿ और 4ⁿ का एकघात संचय है। 

Ques 14.

सर्वसमिका

को जनक फलनों के प्रयोग से हल कीजिए। 

Ques 15.

विलय शाटन कलन-विधि की काल जटिलता ज्ञात कीजिए। 

Ques 16.

0 से 999 (0 और 999 दोनों को शामिल करके) तक की संख्याओं में से कितनी संख्याएँ 7 या 11 से विभाजित नहीं होती हैं?

Ques 17.

120 लोगों के एक सर्वेक्षण में निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए:

90 लोगों के पास कार है, 35 के पास कंप्यूटर है, 40 के पास घर है, 32 के पास घर और कार दोनों हैं, 21 के पास घर और कंप्यूटर दोनों हैं, 26 के पास कार और कंप्यूटर दोनों हैं, और 17 लोगों के पास ये तीनों सुविधाएँ हैं।

i) कितने लोगों के पास इन तीनों में से कोई भी सुविधा नहीं है?

ii) कितने लोगों के पास केवल कार है?

iii) कितने लोगों के पास केवल कंप्यूटर है? 

Ques 18.

प्रारम्भिक प्रतिबंधों  के साथ, पुनरावृत्ति संबंध  का जनक फलन ज्ञात कीजिए।

Ques 19.

बैल संख्याएँ B₆ और B₇ ज्ञात कीजिए। 

Ques 20.

विभाजन  का फेरर ग्राफ बनाइए। साथ ही, इस विभाजन का संयुग्मी विभाजन लिखिए। 

Ques 21.

दिल्ली की चार-पहिया गाड़ियों की संख्या पट्टिका सामान्यतया DL3AXC4126 जैसे दिखती है, जिसके प्रथम दो अक्षर DL नियत होते हैं, तीसरा अक्षर एक अंक होता है, और अगले तीन अक्षर अंग्रेजी के अक्षर हैं, और अंत के चार अक्षर अंक हैं। इस पैटर्न के साथ दिल्ली में कितनी संख्या पट्टिकाएँ पंजीकृत की जा सकती हैं? 

Ques 22.

Which of the following statements are true and which are false? Give reasons for your answer. 
(i) ‘x² + y² - 3 is not divisible by 4.’ is a mathematical statement.
(ii) The number of onto functions from  to  is 4!S₆⁴.
(iii) The generating function associated with a sequence can never be a polynomial.
(iv) .
(v) Selection sort is faster than insertion sort in worst case.
(vi) , where n is a power of 2, is a linear recurrence relation.
(vii) The generating function of the sequence  is (1 - z)^-2.
(viii) If g(x) is the generating function for , then (1 - x)g(x) is the generating function for the sequence  where .
(ix) The number of partitions of 10 with no part larger than 5 is Q₁₀⁵.
(x) The number of integer solutions of the equation  in positive integers is .

Ques 23.

Consider the propositions ‘’ and 'The Sun rises in the West'.

i. Write the disjunction of the statements and give its truth value.

ii. Write the conjunction of the statements and give its truth value.

iii. Write the exclusive disjunction of the statements and give its truth value. 

Ques 24.

If p and q are any statements, show that the statement

 is a tautology. 

Ques 25.

What is the probability of selecting 2 red and 3 green balls from a bag containing 4 red balls and 8 green balls? 

Ques 26.

Write down the converse of each of the following statements: 

i. If p is a prime number and a and b are any two natural numbers and if p divides a or b, then p divides ab.

ii. In a triangle , if , then .

Ques 27.

If the solution of the recurrence relation  is , then determine the values of  and f(n). 

Ques 28.

A bank pays you  interest per year. In addition, you receive Rs. 100 as bonus at the end of the year (after the interest is paid). Find a recurrence for the amount of money after n years if you invest Rs. 2000. 

Ques 29.

If 5 points are chosen in a square of side 2cm, show that there will always be two points at a distance of at most cm. 

Ques 30.

A die is rolled twice and the sum of the numbers that appear is observed. What is the probability that the sum is either a perfect square or a perfect cube? 

Ques 31.

Write an algorithm that computes the sum of the squares of all the odd integers lying between two given numbers p and q, where . 

Ques 32.

For any natural numbers n and k, prove that . 

Ques 33.

Write the expression  in conjunction normal form and disjunctive normal form. 

Ques 34.

Find the general form of the solution to a linear homogeneous recurrence relation with constant coefficients for which the characteristic roots are 4, -2 and 3 with multiplicities 2, 1 and 3, respectively. The relation also has a non-homogeneous part which is a linear combination of 3ⁿ and 4ⁿ. 

Ques 35.

Use generating function to prove the identity

Ques 36.

Compute the time complexity of the merge sort algorithm. 

Ques 37.

How many numbers form 0 to 999 (0 and 999 inclusive) are not divisible by 7 or 11? 

Ques 38.

From a survey of 120 people, the following data was obtained:

90 owned a car, 35 owned a computer, 40 owned a house, 32 owned a car and a house, 21 owned a house and a computer, 26 owned a car and a computer, 17 owned all the three facilities.
i. How many people owned neither of the three.

ii. How many people owned only a car?

iii. How many people owned only a computer? 

Ques 39.

Find the generating function of the recurrence  with initial conditions . 

Ques 40.

Compute the Bell numbers B₆ and B₇. 

Ques 41.

Draw the Ferrar graph of the partition . Also, write down the conjugate partition of this partition. 

Ques 42.

A typical number plate for a four-wheeler in Delhi looks like DL3AXC4126, where the first two characters are fixed as DL, the third one is a digit, then the next three characters are letters, and finally the last four characters are digits. How many number plates in Delhi can be registered with this pattern? 

Ques 43.

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x² + y² - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii)  से  पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S₆⁴ है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv)  है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम  का जनक फलन (1 - z)^-2 है।
viii) यदि  का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम  का जनक फलन है, जहाँ सभी  के लिए  है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q₁₀⁵ है।
x) समीकरण  के धन पूर्णांक हलों की संख्या  है।

Ques 44.

कथनों '2+3=5' और 'सूरज पश्चिम में उगता है।' पर विचार कीजिए। 

i) कथनों का वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

ii) कथनों का योग लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

iii) कथनों का अपवर्जी वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

Ques 45.

यदि p और q कोई भी कथन हैं, तो दर्शाइए कि कथन  एक सर्वसत्य कथन है। 

Ques 46.

 4 लाल और 8 हरी गेंदों वाले एक बस्ते से 2 हरी और 3 लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता क्या है ? 

Ques 47.

 निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन का विलोम लिखिए: 

i) यदि p एक अभाज्य संख्या है, और a और b दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और p, a या b  को विभाजित करता है , तो p, ab को विभाजित करता है।

ii) एक त्रिभुज  में, यदि  है, तो  होगा।

Ques 48.

 यदि पुनरावृत्ति संबंध  का हल  है , तो  और f(n) के मान ज्ञात कीजिए। 

Ques 49.

एक बैंक आपको 4.5% प्रति वर्ष ब्याज देता है। इसके अतिरिक्त, (ब्याज के भुगतान के बाद) आपको वर्ष के अंत में 100/- रुपए का बोनस मिलता है। यदि आपने 2000 रुपए निवेश किए हैं तो आपको n वर्ष के उपरांत मिलने वाली धनराशि के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध बनाइए। 

Ques 50.

यदि 2 सेमी. भुजा वाले एक वर्ग में 5 बिंदु चुने जाते हैं, तो दिखाइए कि इनमें से दो बिंदु ऐसे हमेशा होंगे जिनके बीच की दूरी अधिकतम  सेमी. होगी। 

Ques 51.

एक पासा दो बार फेंका जाता है, और उस पर आने वाली संख्याओं के योगफल का अवलोकन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि यह योगफल या तो एक पूर्ण वर्ग है या एक पूर्ण घन है? 

Ques 52.

 एक ऐसी कलन-विधि लिखिए जो किन्हीं दो दी हुई संख्याओं p और q, जहाँ , के बीच के सभी विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल ज्ञात करती है। 

Ques 53.

किन्हीं भी प्राकृतिक संख्याओं n और k के लिए, सिद्ध कीजिए कि  होता है। 

Ques 54.

व्यंजक  को सर्वनिष्ठ प्रसामान्य समघात और सम्मिलन प्रसामान्य समघात के रूप में लिखिए। 

Ques 55.

अचर गुणांकों वाले एक रैखिक समघात पुनरावृत्ति संबंध का व्यापक हल ज्ञात कीजिए जिसके अभिलक्षणिक मूल 4, -2 और 3 हैं, और बहुकताएँ क्रमशः 2, 1, और 3 हैं। संबंध का एक असमघात भाग भी है जो 3ⁿ और 4ⁿ का एकघात संचय है। 

Ques 56.

सर्वसमिका

को जनक फलनों के प्रयोग से हल कीजिए। 

Ques 57.

विलय शाटन कलन-विधि की काल जटिलता ज्ञात कीजिए। 

Ques 58.

0 से 999 (0 और 999 दोनों को शामिल करके) तक की संख्याओं में से कितनी संख्याएँ 7 या 11 से विभाजित नहीं होती हैं?

Ques 59.

120 लोगों के एक सर्वेक्षण में निम्नलिखित आंकड़े प्राप्त हुए:

90 लोगों के पास कार है, 35 के पास कंप्यूटर है, 40 के पास घर है, 32 के पास घर और कार दोनों हैं, 21 के पास घर और कंप्यूटर दोनों हैं, 26 के पास कार और कंप्यूटर दोनों हैं, और 17 लोगों के पास ये तीनों सुविधाएँ हैं।

i) कितने लोगों के पास इन तीनों में से कोई भी सुविधा नहीं है?

ii) कितने लोगों के पास केवल कार है?

iii) कितने लोगों के पास केवल कंप्यूटर है? 

Ques 60.

प्रारम्भिक प्रतिबंधों  के साथ, पुनरावृत्ति संबंध  का जनक फलन ज्ञात कीजिए।

Ques 61.

बैल संख्याएँ B₆ और B₇ ज्ञात कीजिए। 

Ques 62.

विभाजन  का फेरर ग्राफ बनाइए। साथ ही, इस विभाजन का संयुग्मी विभाजन लिखिए। 

Ques 63.

दिल्ली की चार-पहिया गाड़ियों की संख्या पट्टिका सामान्यतया DL3AXC4126 जैसे दिखती है, जिसके प्रथम दो अक्षर DL नियत होते हैं, तीसरा अक्षर एक अंक होता है, और अगले तीन अक्षर अंग्रेजी के अक्षर हैं, और अंत के चार अक्षर अंक हैं। इस पैटर्न के साथ दिल्ली में कितनी संख्या पट्टिकाएँ पंजीकृत की जा सकती हैं? 

Ques 64.

Which of the following statements are true and which are false? Give reasons for your answer. 
(i) ‘x² + y² - 3 is not divisible by 4.’ is a mathematical statement.
(ii) The number of onto functions from  to  is 4!S₆⁴.
(iii) The generating function associated with a sequence can never be a polynomial.
(iv) .
(v) Selection sort is faster than insertion sort in worst case.
(vi) , where n is a power of 2, is a linear recurrence relation.
(vii) The generating function of the sequence  is (1 - z)^-2.
(viii) If g(x) is the generating function for , then (1 - x)g(x) is the generating function for the sequence  where .
(ix) The number of partitions of 10 with no part larger than 5 is Q₁₀⁵.
(x) The number of integer solutions of the equation  in positive integers is .

Ques 65.

Consider the propositions ‘’ and 'The Sun rises in the West'.

i. Write the disjunction of the statements and give its truth value.

ii. Write the conjunction of the statements and give its truth value.

iii. Write the exclusive disjunction of the statements and give its truth value. 

Ques 66.

If p and q are any statements, show that the statement

 is a tautology. 

Ques 67.

What is the probability of selecting 2 red and 3 green balls from a bag containing 4 red balls and 8 green balls? 

Ques 68.

Write down the converse of each of the following statements: 

i. If p is a prime number and a and b are any two natural numbers and if p divides a or b, then p divides ab.

ii. In a triangle , if , then .

Ques 69.

If the solution of the recurrence relation  is , then determine the values of  and f(n). 

Ques 70.

A bank pays you  interest per year. In addition, you receive Rs. 100 as bonus at the end of the year (after the interest is paid). Find a recurrence for the amount of money after n years if you invest Rs. 2000. 

Ques 71.

If 5 points are chosen in a square of side 2cm, show that there will always be two points at a distance of at most cm. 

Ques 72.

A die is rolled twice and the sum of the numbers that appear is observed. What is the probability that the sum is either a perfect square or a perfect cube? 

Ques 73.

Write an algorithm that computes the sum of the squares of all the odd integers lying between two given numbers p and q, where . 

Ques 74.

For any natural numbers n and k, prove that . 

Ques 75.

Write the expression  in conjunction normal form and disjunctive normal form. 

Ques 76.

Find the general form of the solution to a linear homogeneous recurrence relation with constant coefficients for which the characteristic roots are 4, -2 and 3 with multiplicities 2, 1 and 3, respectively. The relation also has a non-homogeneous part which is a linear combination of 3ⁿ and 4ⁿ. 

Ques 77.

Use generating function to prove the identity

Ques 78.

Compute the time complexity of the merge sort algorithm. 

Ques 79.

How many numbers form 0 to 999 (0 and 999 inclusive) are not divisible by 7 or 11? 

Ques 80.

From a survey of 120 people, the following data was obtained:

90 owned a car, 35 owned a computer, 40 owned a house, 32 owned a car and a house, 21 owned a house and a computer, 26 owned a car and a computer, 17 owned all the three facilities.
i. How many people owned neither of the three.

ii. How many people owned only a car?

iii. How many people owned only a computer? 

Ques 81.

Find the generating function of the recurrence  with initial conditions . 

Ques 82.

Compute the Bell numbers B₆ and B₇. 

Ques 83.

Draw the Ferrar graph of the partition . Also, write down the conjugate partition of this partition. 

Ques 84.

A typical number plate for a four-wheeler in Delhi looks like DL3AXC4126, where the first two characters are fixed as DL, the third one is a digit, then the next three characters are letters, and finally the last four characters are digits. How many number plates in Delhi can be registered with this pattern? 

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