) प्रायिकता द्रव्यमान फलन और प्रायिकता घनत्व फलन के बीच अन्तर कीजिए।

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प्रायिकता द्रव्यमान फलन (Probability Mass Function, PMF) और प्रायिकता घनत्व फलन (Probability Density Function, PDF) दोनों प्रायिकता सिद्धांत में महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, लेकिन इनका प्रयोग और स्वरूप अलग होता है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन उन यादृच्छिक चर (Random Variables) के लिए प्रयुक्त होती है जो गिनने योग्य (Discrete) होते हैं। यह किसी निश्चित मान को ग्रहण करने की संभावना को संख्यात्मक रूप में व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, एक पासे को फेंकने पर किसी विशेष अंक, जैसे 3 आने की संभावना, PMF के द्वारा व्यक्त की जाती है। PMF किसी भी मान (x_i) के लिए (P(X = x_i)) के रूप में लिखा जाता है और इसके मान 0 और 1 के बीच होते हैं। इसके अलावा, सभी संभावनाओं का योग हमेशा 1 के बराबर होता है, यानी (\sum_i P(X = x_i) = 1)। इसके विपरीत, प्रायिकता घनत्व फलन उन यादृच्छिक चर के लिए प्रयुक्त होती है जो निरंतर (Continuous) होते हैं। निरंतर यादृच्छिक चर किसी दिए हुए अंतराल में अनंत मान ले सकते हैं, इसलिए किसी निश्चित मान के लिए प्रायिकता शून्य होती है। इसलिए PDF किसी निश्चित मान की बजाय किसी अंतराल में मान लेने की संभावना को व्यक्त करता है। PDF (f(x)) के माध्यम से किसी अंतराल ([a, b]) में (X) का मान लेने की संभावना (P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx) के रूप में दी जाती है। PDF के मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होते हैं और इसके संपूर्ण क्षेत्रफल का योग 1 होता है, अर्थात (\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1)। एक अन्य महत्वपूर्ण अंतर यह है कि PMF विशिष्ट मानों पर परिभाषित होती है जबकि PDF निरंतर मानों पर। PMF में संभावना सीधे किसी बिंदु ____________ ______ ____ __ _________ _____ _____ ________ ____________.
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Degree : MASTER DEGREE PROGRAMMES
Course Name : Master of Arts in Economics
Course Code : MEC
Subject Name : Quantitative Methods
Subject Code : MEC 103
Year : 2024