अन्तर समीकरण क्या है ? अन्तर समीकरण का उपयोग करके कॉबवेब मॉडल का वर्णन कीजिए।

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अन्तर समीकरण, जिसे अंग्रेज़ी में "difference equation" कहा जाता है, गणितीय और आर्थिक विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपकरण है। यह वह समीकरण होता है जिसमें किसी समय पर किसी चर (variable) का मान उसके पिछले समय के मानों के साथ संबंध रखता है। सरल शब्दों में, अन्तर समीकरण समय के अनुक्रम में किसी परिमाण के परिवर्तन को व्यक्त करता है। यदि हम किसी चर (x_t) को समय (t) पर मान लें, तो अन्तर समीकरण (x_t) को (x_{t-1}, x_{t-2}, \dots) के रूप में व्यक्त कर सकता है। अन्तर समीकरण निरंतर समय के गणितीय मॉडल (जैसे अवकल समीकरण या differential equation) का एक प्रकार है, लेकिन यह समय को विभाजित चरणों (discrete intervals) में मानता है। अन्तर समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जा सकता है: [ x_{t} = f(x_{t-1}, x_{t-2}, \dots) ] जहाँ (f) किसी फंक्शन को दर्शाता है जो पिछले मानों के आधार पर वर्तमान मान को निर्धारित करता है। अन्तर समीकरण का उपयोग विशेष रूप से आर्थिक मॉडलिंग, सांख्यिकी, नियंत्रण सिद्धांत और प्रेडिक्टिव विश्लेषण में किया जाता है। यह भविष्य के मानों का अनुमान लगाने, आर्थिक चक्रों और अस्थिरता का अध्ययन करने में मदद करता है। कॉबवेब मॉडल (Cobweb Model) आर्थिक सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है जो कृषि बाजार और अन्य ऐसे बाजारों का विश्लेषण करता है जहाँ उत्पादन और कीमत के बीच समय के अंतराल में प्रतिक्रिया होती है। इस मॉडल की आधारभूत धारणा यह है कि किसान या उत्पादक पिछले समय की कीमत के आधार पर अगले समय की आपूर्ति का निर्णय लेते हैं, और फिर बाजार में वास्तविक कीमत अगले समय में संतुलित होती है। इस प्रकार, आपूर्ति और मांग के बीच एक "सर्पिलाकार" (cobweb) जैसी गतिशीलता उत्पन्न होती है। कॉबवेब मॉडल को अन्तर समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। मान लें कि (Q_t) किसी वस्तु की आपूर्ति है समय (t) पर और (P_t) उस समय वस्तु की कीमत है। यदि मांग का फंक्शन (Q_t^d = a - bP_t) है और आपूर्ति का फंक्शन (Q_t^s = c + dP_{t-1}) है, जहाँ आपूर्ति पिछली अवधि की कीमत पर आधारित है, तो संतुलन की स्थिति में हम पाते हैं कि: [ Q_t^s = Q_t^d \implies c + dP_{t-1} = a - bP_t ] इसे पुनर्व्यवस्थित करके, हमें कीमत के लिए अन्तर समीकरण मिलता है: [ P_t = \frac{a - c}{b} - \frac{d}{b} P_{t-1} ] यह अन्तर समीकरण दर्शाता है कि वर्तमान समय की कीमत (P_t) पूरी तरह से पिछले समय की कीमत (P_{t-1}) और अन्य स्थिरांक (a, b, c, d) पर निर्भर करती है। इस समीकरण के माध्यम से हम यह अध्ययन कर सकते हैं कि कीमतें समय के साथ कैसे बदलती हैं, क्या वे स्थिर संतुलन ____ _____ ___________ _________ _____________ _____ _____________.
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Degree : MASTER DEGREE PROGRAMMES
Course Name : Master of Arts in Economics
Course Code : MEC
Subject Name : Quantitative Methods
Subject Code : MEC 103
Year : 2024